Неоднородные системы линейных уравнений

Лекция 15

Рассмотрим неоднородную систему

(16)

Если соответствующие коэффициенты однородной системы

(7)

равны соответствующим коэффициентам неоднородной системы (16), то однородная система (7) называется соответствующей неоднородной системе (16).

Теорема. Если известно частное решение неоднородной системы: , то нахождение общего решения этой системы приводится к решению соответствующей однородной системы (7).

В самом деле, введем новые искомые функции с помощью соотношений . Подставляя эти выражения в систему (16) и учитывая тождества , мы получим для новых функций систему

. (7.1)

Теорема доказана.

Следствие. Общее решение системы (16) имеет вид

где — какое-нибудь частное решение неоднородной системы (16), а

(8)

есть независимых частных решений соответствующей однородной системы (7); — произвольные постоянные. Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для линейного уравнения -го порядка.

Теорема. Если известна фундаментальная система соответствующей однородной системы, то решение неоднородной системы сводится к квадратурам.

Если нам известны решения (8) системы (7), то ее общее решение имеет вид

(9)

где — постоянные. Формулы (9) с постоянными , очевидно, не дают решения неоднородной системы (16). Применим, как и в случае одного линейного уравнения, метод вариации произвольной постоянной. Будем рассматривать как неизвестные функции от , причем подберем их таким образом, чтобы выражения (9) являлись решениями неоднородной системы (систему уравнений (9) можно рассматривать как систему, вводящую новых искомых функций от : ; в силу линейности преобразования, новые уравнения для тоже будут линейными).

Дифференцируем равенства (9) по :

. (17)

Подставим выражения (17) и (9) в уравнения (16). Первые слагаемых правых частей формул (17) имеют такой вид, как если бы были постоянными. Так как представляют собой решения однородной системы, то при подстановке эти слагаемые дадут нули. В самом деле, результат подстановки в -е уравнение дает

или ,

и для определения остаются уравнения

Полученная система линейных уравнений относительно разрешима, так как определитель системы в силу предположения, что система решений (8) является фундаментальной. Мы получаем

где через обозначен минор (алгебраическое дополнение) определителя , соответствующий элементу . Так как являются известными функциями, то получатся квадратурами , — постоянные интегрирования.

Подставляя найденные значения в формулы (9), получаем общее решение системы (16) в виде

где частное решение неоднородной системы определяется формулами

Рассмотрим еще несколько теорем в сокращенных обозначениях, введенных ранее.

Теорема. Если является решением линейной неоднородной системы

, (*)

а — решением соответствующей однородной системы , то сумма также будет решением неоднородной системы (*).

Доказательство. Дано, что и . Надо доказать, что .

Пользуясь свойством 2) оператора , получим .

Теорема (принцип суперпозиции). Решением системы линейных уравнений

является сумма решений уравнений .

Доказательство. Дано . Надо доказать, что .

Используя свойство 2) оператора , получим .

Теорема. Если система линейных уравнений , где , с действительными функциями имеет решение , то действительная часть решения и его мнимая часть соответственно являются решениями уравнений и .

Доказательство. Дано , надо доказать, что .

Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора , получаем . Следовательно, .

Пример. . В примере из прошлой темы мы нашли решение соответствующей однородной системы: . Подставляем эти значения в данные уравнения, считая неизвестными функциями от . После приведения получим такую систему: