Методы исследования нелинейных систем

Наличие нелинейностей в системах управления приводит к описанию такой системы нелинейными дифференциальными уравнениями, часто достаточно высоких порядков. Как известно, большинство групп нелинейных уравнений не решается в общем виде, и можно лишь говорить о частных случаях решения, поэтому при исследовании нелинейных систем большую роль приобретают различные приближенные методы.

Посредством приближенных методов исследования нелинейных систем нельзя, как правило, получить достаточно полное представление о всех динамических свойствах системы. Однако с их помощью можно ответить на ряд отдельных существенных вопросов, таких как вопрос устойчивости, наличия автоколебаний, характера каких-либо частных режимов и т.п.

В настоящее время существует большое число различных аналитических и графо-аналитических методов исследования нелинейных систем, среди которых можно выделить методы фазовой плоскости, припасовывания, точечных преобразований, гармонической линеаризации, прямой метод Ляпунова, частотные методы исследования абсолютной устойчивости Попова, методы исследования нелинейных систем на электронных моделях и ЭВМ.

Краткая характеристика некоторых из перечисленных методов.

Метод фазовой плоскости является точным, но имеет ограниченное при­менение, так как практически неприменим для систем регулирования, опи­сание которых нельзя свести к управлениям второго порядка.

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам, он не имеет ограничений по порядку дифференциальных уравнений. При применении этого метода предполагается, что на выходе системы имеются гармонические колебания, а линейная часть системы регулирования является фильтром высоких частот. В случае слабой филь­трации сигналов линейной частью системы при использовании метода гармо­нической линеаризации необходимо учитывать высшие гармоники. При этом усложняется анализ устойчивости и качества процессов регули­рования нелинейных систем.

Второй метод Ляпунова позволяет получить лишь достаточ­ные условия устойчивости. И если на его основе определена неустойчивость системы регулирования, то в ряде случаев для проверки правильности полученного результата следует заменить функцию Ляпунова на другую и еще раз выполнить анализ устойчивости. Кроме того, не существует общих методов определения функции Ляпунова, что затрудняет практи­ческое применение этого метода.

Критерий абсолютной устойчивости позволяет анализировать устой­чивость нелинейных систем с помощью частотных характеристик, что является большим преимуществом данного метода, так как объе­диняет математический аппарат линейных и нелинейных систем в единое целое. К недостаткам этого метода следует отнести усложнение расчетов при анализе устойчивости систем с неустойчивой линейной частью. Поэтому для получения правильного результата по устойчивости нелинейных систем приходится пользоваться различными методами. И только совпадение раз­личных результатов позволит избежать ошибочных суждений об устойчи­вости или неустойчивости проектируемой системы автоматического регули­рования.