Построение высокочастотной части

Построение низкочастотной части

Построение логарифмических частотных характеристик импульсных систем

Логарифмический частотный критерий устойчивости.

Критерий основан на использовании W - преобразования и перехода к псевдочастоте l (11.4). В этом случае ЛЧХ, соот­ветствующие частотой характеристике разомкнутой импульсной системы W(jl), определяются теми же соотношениями, что и для обычных непрерывных систем:

L(l)=20 lg|W(jl)|, j(l)=argW(jl)

Используя полученные ЛЧХ можно сформулировать логарифмический частотный критерий устойчивости импульсной системы, являющейся аналогом соот­ветствующего критерия для непрерывных систем. Система, устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом состоя­нии, если число переходов фазовой частотной характеристикой разомкнутой системы j(l) через ось -p сверху вниз равно числу переходов снизу вверх в интервале частот, где ЛАЧХ разомкнутой системы L(l) положительна.

Если разомкнутая система неустойчива и имеет "m" правых корней, то для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы число переходов j(l) через ось -p сверху вниз было на m/2 раз меньше, чем снизу вверх в интервале частот, где L(l) поло­жительна.

Построение ЛЧХ ИС можно разбить на два этапа: построение низкочастотной и построение высокочастотной частей.

Построение логарифмических частотных характеристик произ­водится в функции псевдочастоты l = 2/Т * tg wТ/2 раздельно для области низких частот (wT < 2) и для области высоких частот (wT > 2).

Так как в области низких частот l @ w, то построение ЛАХ и ЛФХ в этой области сводится к построению логарифмических характеристик исходной непрерывной части.

L_н(l) @ L_н (w) = 20 lg|W(jw)|, j_н (l) @ j_н (w) = arg W(jw)

Рассмотрим построение логарифмических частотных характе­ристик в области высоких частот при wТ>2. Введем следующие ог­раничения.

1. Частота среза w_с ЛАХ непрерывной части системы меньше величины 2/Т.

2. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид W(p)=K,

где К - общий коэффициент усиления, n -степень астатизма, а все постоянные времени T₁,... Т_n, можно разделить на две группы. К первой группе T₁,... Т_q отнесем те из них, кото­рым соответствуют сопрягающие частоты, меньше 2/Т (большие постоянные времени). Они участвуют в формировании низкочастот­ной части логарифмических характеристик в соответствии с изло­женным выше.

Ко второй группе Т_q+1... Т_n отнесем те постоянные време­ни, которым соответствуют сопрягающие частоты, большие 2/Т (ма­лые постоянные времени), т.е. для каждой постоянной времени второй группы должно выполняться неравенство

T_i < Т/2(i = q+1,... n)

3.Постоянным времени t₁,.. t _m соответствуют сопрягающие
частоты, меньшие частоты 2/Т, и они участвуют в формировании низкочастотной части логарифмических характеристик.

4. Пересечение вертикальной прямой, проведенной через точку w = 2/Т асимптоти­ческой ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательных нак­лонах 20 дБ/дек или 40 дБ/дек.

В качестве АИМ возьмем преобразователь, формирующий импульсы короткой длительности, т.е. gТ << T.

Рассмотрим сначала случай, когда пересечение вертикальной прямой, проведенной через точку w = 2/Т асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательном наклоне -20д Б/дек (рис.11.4,а). Тогда в области высоких частот (w>2/Т) передаточная функция непрерывной части может быть представлена в виде:

W_в(p) = .

Здесь w_o (рис.11.4,а) представляет собой базовую частоту высокочастотной части ЛАХ, определяемую как частота пересече­ния ее первой асимптоты с осью нуля децибел. Базовая частота определяется выражением:

w_o = Kgt₁ t₂ ….t_m/(T₁ T₂ ….T_q)

причем должно выполняться условие m £ q.

В частном случае базовая частота w_o может совпадать с w_c.

Здесь и далее -1, -2 – 3 и т.д. обозначает наклон асимптоты -20 дБ/дек,-40 дБ/дек – 60 дБ/дек и т.д. соответственно.

Рассмотрим сначала элементарный случай, когда в области высоких частот W_в(p) имеет вид:

W_в(р) = . (11.7)

Применив к (11.7) операцию Z-преобразования (см. приложение 2), получим

W_в(z) = , (11.8)

где d = .

В формулу (11.8) подставим значение z из (11.4) и получим

W_в(jλ) = (11.9)

где Т_э = , а Т_э > T/2.

Формулы для определения ЛАХ и ЛФХ по выражению (11.9) имеют вид:

L_в(l) = 20lgw_o,

j_в(l) = - 90^о – arc tglT_э.

Начало ЛАХ в высокочастотной области должно сливаться с концом ЛАХ в низкочастотной области.

ЛАХ для этого случая изображена на рис. 11.4,б.

Рис.11.4. Высокочастотная часть ЛАХ импульсной системы

Если имеются постоянные времени меньшие T_q+1, то передаточную функцию высокочастотной части можно представить в виде:

, (11.10)

где τ - эквивалентное запаздывание равное сумме всех малых постоянных времени T_q+2 + T_q+3 +…+ T_n. Формула

(11.10) обычно дает хорошее приближение, т.к. в выражении постоян­ные времени являются малыми в том смысле, что они соответствуют высокочастотному "хвосту" ЛАХ.

Разложив показательную функцию в ряд и взяв первое приближение, получим:

В этом случае Z – передаточная функция определяется выражением

W_в(z) =

Перейдя к псевдочастоте после преобразований, получим

W_в(jl) = , (11.11)

где , t_э > T/2, а Т_э определяется ранее полученным выражением. Один из вариантов ЛАХ для этого случая изображен на рис.11.4,в. Изображение «хвоста» высокочастотной части ЛАХ в этом случае будет зависеть от соотношений между Т_э и t_э. В одном случае, как это изображено на рис.11.4,в (t_э > T_э), наклон асимптот ЛАХ будет иметь - 1- 0 -1 – 0. Если же Т_э > t_э, то наклон асимптот ЛАХ будет – 1 – 2 – 1 – 0. Если же будет иметь место равенство Т_э = t_э, то наклоны «хвоста» ЛАХ будут – 1 – 0.

Для этого случая L_в(l) и j_в(l) можно определить по выражениям

,

j_в(l) = -90^о +arctglT/2 - arctglt_э - arctglT_э.

Перейдем теперь к случаю, когда пересечение вертикальной линии на частоте = Т/2 асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит с наклоном -40 дБ/дек.

Тогда передаточная функция в высокочастотной области должна быть записана в виде

W_в(р) = .

ЛАХ для этого случая изображена на рис.11.5,а

Базовая частота в этом случае равна

w_о = .

Причем должно выполняться условие m £ q. В частном случае базовая частота w_о может совпадать с w _c.

В простейшем случае передаточная функция высокочастотной части имеет вид W_в(р) = .

Тогда

W_в(z) = TZ.

Или после подстановки значения z из формулы (11.4) получим

W_в(jλ) = _. (11.12)

В этом случае ЛАХ и ЛФХ можно определить по выражениям

L_в(λ) = 20lg,

j_в(l) = - 180^o .

ЛАХ для этого случая изображена на рис.11.5,б.

При наличии постоянных времени, меньших Т/2 исходную передаточную функцию можно представить в виде

,

где τ - эквивалентное запаздывание равное сумме всех малых постоянных времени меньших Т/2.

Разложив показательную функцию в ряд и взяв первое приближение получим:

W_в(р) ТZ.

Перейдя к псевдочастоте подстановкой (11.4) после преобразований получим

W_в(jl) = , (11.13)

где t_э = Т/2 + t. Здесь t_э > T/2.

Рис.11.5. Высокочастотная часть ЛАХ импульсной системы

для второго случая

L_в(λ) и j_в(l) для этого случая можно определить по выражениям

L_в(λ) =20lg,

j_в(l) = - 180^o -arctglT/2 + arctglt_э.

ЛАХ, соответствующая рассматриваемому случаю изображена на рис.11.5,в.

Сравнивая характеристики на рис.11.5 видим, что учет малых постоянных времени несколько изменяет вид ЛАХ в высокочастотной части.