2014-02-02
1107
Критерии устойчивости импульсных систем
На практике для определения устойчивости импульсной системы обычно не вычисляются корни характеристического уравнения, а применяются критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости системы без вычисления корней.
Исследование устойчивости линейных импульсных систем автоматического уравнения осуществляется с помощью известных критериев устойчивости линейных систем - критериев Рауса, Гурвица, Найквиста, Михайлова, модифицированных с учетом особенностей описания импульсных систем.
Алгебраический критерий устойчивости (аналог критерия Гурвица).
Пусть характеристическое уравнение исследуемой замкнутой импульсной системы имеет вид
С0 zn + C1zn-1 +..+Cn-1z+Cn=0 (11.5)
Для устойчивости такой системы, согласно ранее изложенному, необходимо и достаточно, чтобы |zi| < 1, где zi - корни уравнения (11.5).
Для того, чтобы привести условия устойчивости импульсной системы к аналогичным условиям устойчивости Гурвица для непрерывных систем, в характеристическое уравнение (11.5) произведем подставку z =(1+W)/(1 – W), тогда уравнение (11.5) принимает вид
|
|
|
a 0 Wn + a1Wn-1 +... + a n-1W + an = о (11.6)
В этом случае условие устойчивости импульсной системы формулируется так: замкнутая импульсная система устойчива, если корни уравнения (11.6) лежат в левой полуплоскости, т.е. если выполняется условие Гурвица: при а 0 > 0 все D к> 0, где к =1,2,... n, а Dk - определители Гурвица к - го порядка.
Порядок вычисления определителей Гурвица полностью совпадает с порядком их вычисления для непрерывных систем.
Критерий основан на использовании частотной характеристики разомкнутой системы для определения устойчивости замкнутой системы.
Здесь возможны три случая.
1. Разомкнутая система устойчива.
В этом случае замкнутая импульсная система регулирования будет устойчива, если годограф W(jv) разомкнутой системы при изменении v от 0 до p не охватывает точки с координатами (-1,j0).
2. Разомкнутая система неустойчива.
В этом случае имеется "m" корней больших 1.
Замкнутая импульсная система регулирования будет устойчива, если годограф W(jv) разомкнутой системы при изменении v от 0 до p охватывает точку с координатами (-1,j0) m/2 раз в положительном направлении.
3.Разомкнутая система нейтральна.
В этом случае имеется "r" корней равных 1.
Замкнутая импульсная система регулирования будет устойчива, если годограф W(jv) разомкнутой системы, дополненный дугой бесконечно большого радиуса, соответствующей углу – r*900, при изменении v от 0 до p не охватывает точки с координатами (-1,j0).
