Основные теоремы дифференциального исчисления

Свойства дифференциалов

1) если С – постоянная величина, то dC= 0;

2) , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала;

3)

4)

5)

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) непрерывна в (а, b), имеет экстремум - max (min) в некоторой внутренней точке и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю:

.

Теорема Роля. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и имеет на концах отрезка равные значения f(a) = f(b)=c, то на интервале (a, b) существует хотя бы одна точка х = х₀ такая, что f ^/(x₀) =0

Действительно. Так как функция непрерывна на [a, b], то, по теореме Вейерштрасса (2.1.13) она имеет на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения: m и М.

· Если m= М, то f ^/(x₀)- const и для любого имеем f ^/(x₀) =0.

· Если , то хотя бы одно из этих значений соответствует внутренней точке , но тогда по теореме Ферма имеем f ^/(x₀) =0.

Геометрический смысл теоремы Роля состоит в том, что существует хотя бы одна точка (x₀ , f(x₀)) такая, касательная в которой к графику функции y=f(x) будет параллельна оси Ох.

Теорема Коши. Если функция и непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем , то существует хотя бы одна точка , такая, что

Теорема Лагранжа. Если y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), то существует хотя бы одна точка такая, что .

Теорема Лопиталя. Пусть функции y=f(x) и в окрестности точки х= а непрерывны, дифференцируемы и . При этом при или одновременно или

Тогда, если существует , то также существует , причем .