Экстремумы функции двух переменных

Исследование функции одной переменной (общая схема)

Общая схема исследования функции одной переменной.

1.Найти область определения функции. Это совокупность значений х, для которых можно вычислить значения у, пользуясь непосредственно уравнением y = f(x), или f(x, y) =0. Иначе, область определения функции есть множество значений х, при которых функция имеет смысл.

2.Найти точки пересечения графика функции с осями координат. В точке пересечения графика функции с осью Ох: у = 0, с осью Оу: х=0.

3.Исследовать функцию на четность, нечетность:условие четности: f(-x) = f(x).

условие нечетности: f(-x)=-f(x).

График четной функции симметричен относительно Оу,

нечетной – относительно начала координат.

4.Найти точки разрыва функции, если они есть, то найти односторонние пределы в каждой такой точке.

5.Найти асимптоты графика функции.

Если есть точка разрыва второго рода х = а, то существует вертикальная асимптота х = а.

Наклонная асимптота определятся уравнением

у = х+b,

где

6.Найти интервалы монотонности. Точки экстремумов.

7.Найти интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

8.Построить график функции.

Пусть D – область определения функции z=f(x, y); M₀(x₀, y₀) .

Если значение функции z=f(x, y) в точке M₀ является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими ее значениями в - окрестности точки M₀, то это значение называется максимумом (минимумом) функции, а точка M₀ - точкой максимума (минимума).

Максимумы и минимумы функции, как сказано ранее, называют экстремумами.

Необходимые условия существования экстремума: если функция z=f(x, y) имеет в точке экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю или хотя бы одна из частных производных не существует.