Планирование модельных экспериментов

В случае когда на работу объекта влияет множество как внутренних, так и внешних случайных факторов функциональная искомая зависимость становится довольно сложной. Для получения таких зависимостей используется математический аппарат «планирование экспериментов». Он позволяет при ограниченном числе экспериментов получить абстрактное, но довольно точное описание функциональной зависимости в виде регрессии, состоящей из ряда всевозможных сочетаний значений внутренних и внешних факторов.

Исследователь системы, чтобы получить от модели максимум информации, должен проанализировать ее работу во всех режимах, для всех возможных сочетаний внешних и внутренних факторов и повторять каждый эксперимент множество раз. Таким образом, полученные данные, из-за большого объема, трудно поддаются анализу, да и время, затраченное на их получение чрезмерно. Для устранения указанных недостатков прибегают к так называемому «планированию» экспериментов.

Существуют два основных варианта постановки задачи планирования эксперимента:

- выбрать план, который при ограниченном числе опытов позволял бы получить наиболее достоверное значения искомой функциональной зависимости;

- выбрать план, при котором статистическая оценка функциональной зависимости может быть получена с заданной точностью при минимальном числе опытов.

Поиск плана эксперимента производится в так называемом факторном пространстве.

Факторное пространство – это множество внешних и внутренних параметров модели, значения которых исследователь может контролировать в ходе подготовки и проведения модельного эксперимента.

Поскольку факторы могут носить как количественный, так и качественный характер (например, отражать некоторую стратегию управления), значения факторов обычно называют уровнями. Если при проведении эксперимента исследователь может изменять уровни факторов, эксперимент называется активным, в противном случае – пассивным.

Каждый из факторов имеет верхний и нижний уровни, расположенные симметрично относительно некоторого нулевого уровня. Точка в факторном пространстве, соответствующая нулевым уровням всех факторов, называется центром плана, а диапазон изменения – интервалом варьирования фактора.

Как правило, план эксперимента строится относительно одного (основного) выходного скалярного параметра Y, который называется наблюдаемой переменной. Если моделирование используется как инструмент принятия решения, то в роли наблюдаемой переменной выступает показатель эффективности.

При этом предполагается, что значение наблюдаемой переменной, полученное в ходе эксперимента, складывается из двух составляющих:

y = f(x) + е(х),

где f(x) – функция отклика (неслучайная функция факторов);

е(х) – ошибка эксперимента (случайная величина);

х – точка в факторном пространстве (определенное сочетание уровней факторов).

Очевидно, что у является случайной переменной, так как в нее входит случайная величина е(х).

Дисперсия отклика D_y, которая характеризует точность измерений, численно равна дисперсии ошибки опыта: D_y = D_е.

Иногда D_y называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она характеризует качество эксперимента.Эксперимент называется идеальным при D_y = 0.

Известны различные варианты построения планов эксперимента (рандомизированный, с изменением факторов по одному, экстремальный и т. д.). Рассмотрим планирование экстремальных экспериментов.