Представление синусоидально изменяющихся электрических величин комплексными числами

Синусоидально изменяющуюся электрическую величину можно представить комплексным числом и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с прямоугольной системой координат (рис. 5.23, а).

Комплексное число состоит из действительной (вещественной) и мнимой частей. По оси ординат откладывают дей­ствительную часть комплексного числа, а ось обозначают +1 и -1; по оси абсцисс — мнимую часть комплексного числа, а ось обозначают j и - j.

На комплексной плоскости синусоидальная величина может изображаться в виде модуля и аргумента или в виде двух составляющих вектора, направляемых по действительной и мнимой осям. Например, синусоидальный токпредставляют вектором , модулем кото­рого является значение амплитуды тока I_m, а аргументом – начальная фаза , которую можно выражать в радианах или в градусах (рис. 5.23, а).

Составляющими вектора по действительной оси будет , а по мнимой т. е. .

рис. 5.23, а рис. 5.23, б

Вектор называют комплексной амплитудой тока.

Обычно при расчетах пользуются действующими значениями. Комплекс действующего значения электрической величины получают путем деления комп­лексной амплитуды на :

Комплексы действующих значений кратко называют комплексом величины, например комплекс тока, комплекс напряжения и т. д.

Пример:

Запишем выражение для мгновенного значения тока, если комплекс­ный ток , частота тока f=50 Гц, ω=2πf=2×3,14×50=314 рад/c

В этом случае амплитуда тока I_m аргумент ψ_i. Амплитудное значение тока . Аргумент определяем через = 3/4 (рис. 5.23, а). По тригонометрической таблице находим ψ_i = 37 °. В результате мгновенное значение тока запишем в виде .

Если надо сложить или вычесть синусоидальные величины одинаковой частоты, применяют два способа: графический и аналитический. Например, найдем аналитическим способом сумму двух эдс:

и

Решение задачи сводится к нахождению амплитуды E_m и ар­гумента ψ суммарной эдс . Эта сумма соответствует сумме проекций на действительную и мнимую оси комплексной плоскости (рис. 5.23, б):

Проекции и , найденные в результате суммирования соответствующих проекций векторов и будут действительной и мнимой составляющими комплексной амплитуды Модуль результирующей эдс: . Аргумент ψ определяется из выражения .

При построении векторных диаграмм точно фиксируют угол сдвига между векторами, а положение их относитель­но осей комплексной плоскости может быть произвольным, поэтому оси можно не изображать. При этом для удобства анализа и построения векторных диаграмм начальный фазовый угол одной из электрических величин (чаще напря­жение источника электрической энергии) принимают равным нулю.

При анализе электрических цепей переменного тока прихо­дится иметь дело с умножением и делением электрических ве­личин. В этом случае удобно пользоваться комплексами этих величин, записанными в показательной форме:

,

где e^iψ — оператор поворота единичного вектора относительно оси действительных величин. Например, произведение и частное имеют такой вид:

Для единичного вектора тока (I=1А) и значений ψ_i = 0; π/2; -π/2; π имеем:

Отсюда следует, что умножение на j означает поворот вектора на +90⁰ (в сторону, противоположную направлению движения стрелки часов). При умножении на j²=j*j вектор поворачивается на +180⁰ и занимает направление, обратное исходному положению. Умножение на –j означает поворот вектора на угол -90⁰ (по часовой стрелке).