2014-02-02
1025
Синусоидально изменяющуюся электрическую величину можно представить комплексным числом и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с прямоугольной системой координат (рис. 5.23, а).
Комплексное число состоит из действительной (вещественной) и мнимой частей. По оси ординат откладывают действительную часть комплексного числа, а ось обозначают +1 и -1; по оси абсцисс — мнимую часть комплексного числа, а ось обозначают j и - j.
На комплексной плоскости синусоидальная величина может изображаться в виде модуля и аргумента или в виде двух составляющих вектора, направляемых по действительной и мнимой осям. Например, синусоидальный ток
представляют вектором 
, модулем которого является значение амплитуды тока Im, а аргументом – начальная фаза 
, которую можно выражать в радианах или в градусах (рис. 5.23, а).
Составляющими вектора по действительной оси будет 
, а по мнимой 
т. е. 
.
 |
рис. 5.23, а рис. 5.23, б
Вектор называют комплексной амплитудой тока.
Обычно при расчетах пользуются действующими значениями. Комплекс действующего значения электрической величины получают путем деления комплексной амплитуды на 
:
Комплексы действующих значений кратко называют комплексом величины, например комплекс тока, комплекс напряжения и т. д.
Пример:
Запишем выражение для мгновенного значения тока, если комплексный ток 
, частота тока f=50 Гц, ω=2πf=2×3,14×50=314 рад/c
В этом случае амплитуда тока Im аргумент ψi. Амплитудное значение тока 
. Аргумент определяем через 
= 3/4 (рис. 5.23, а). По тригонометрической таблице находим ψi = 37 °. В результате мгновенное значение тока запишем в виде 
.
Если надо сложить или вычесть синусоидальные величины одинаковой частоты, применяют два способа: графический и аналитический. Например, найдем аналитическим способом сумму двух эдс:
и 
Решение задачи сводится к нахождению амплитуды Em и аргумента ψ суммарной эдс 
. Эта сумма соответствует сумме проекций на действительную и мнимую оси комплексной плоскости (рис. 5.23, б):
Проекции 
и , найденные в результате суммирования соответствующих проекций векторов 
и 
будут действительной и мнимой составляющими комплексной амплитуды 
Модуль результирующей эдс: 
. Аргумент ψ определяется из выражения 
.
При построении векторных диаграмм точно фиксируют угол сдвига между векторами, а положение их относительно осей комплексной плоскости может быть произвольным, поэтому оси можно не изображать. При этом для удобства анализа и построения векторных диаграмм начальный фазовый угол одной из электрических величин (чаще напряжение источника электрической энергии) принимают равным нулю.
При анализе электрических цепей переменного тока приходится иметь дело с умножением и делением электрических величин. В этом случае удобно пользоваться комплексами этих величин, записанными в показательной форме:
,
где eiψ — оператор поворота единичного вектора относительно оси действительных величин. Например, произведение 
и частное 
имеют такой вид:
Для единичного вектора тока (I=1А) и значений ψi = 0; π/2; -π/2; π имеем:
Отсюда следует, что умножение на j означает поворот вектора на +900 (в сторону, противоположную направлению движения стрелки часов). При умножении на j2=j*j вектор поворачивается на +1800 и занимает направление, обратное исходному положению. Умножение на –j означает поворот вектора на угол -900 (по часовой стрелке).
