Анализ режимов в электрических цепях существенно упростится и станет более наглядным, если воспользоваться комплексными числами, а векторные диаграммы напряжений и токов строить на комплексной плоскости. Уравнения электрического состояния для цепи переменного тока в комплексной форме сходны с уравнениями электрического состояния для цепей постоянного тока. Благодаря этому анализ и расчет электрических цепей синусоидального тока с помощью комплексных чисел получил в практике широкое применение.
Сущность метода состоит в том, что в уравнениях электрического состояния мгновенные значения тока и напряжения на всех участках заменяют комплексными. Так, мгновенные значения тока i и напряжения U заменяют комплексом тока и напряжения . Мгновенное значение напряжения UR =Ri на резистивном участке с сопротивлением R заменяют комплексом , по фазе совпадающим с током . Мгновенное значение напряжения на участке с индуктивностью L заменяют комплексом . Оператор j, здесь как множитель, указывает на то, что вектор напряжения повернут на угол +π/2 по отношению к вектору тока . Следовательно, если на комплексной плоскости вектор напряжения UL направлен по оси действительных значений (оси +1), то вектор тока I направлен по мнимой оси -j. При этом, если вектор UL занимает любое другое положение на комплексной плоскости, вектор тока I будет занимать по отношению к вектору UL положение, определяемое углом -π/2.
Значение напряжения на емкостном элементе С заменяют комплексом . Умножение на –j указывает на то, что напряжение на емкости по фазе отстает от тока на угол π/2.
Уравнения электрического состояния в комплексной форме имеют вид: для ветви ; для узла ; для контура .
Контурное уравнение электрического состояния цепи при последовательном соединении элементов R, L, C, записанное в комплексной форме, имеет вид , откуда можно найти комплекс тока , где - комплексное сопротивление цепи.
Чтобы освободится от мнимых составляющих комплексного числа в знаменателе, умножим и разделим правую часть уравнения на сопряженный комплекс сопротивления:
В общем случае комплекс полного сопротивления в показательной форме состоит из модуля комплекса и аргумента φ, который определяется разностью углов начальных фаз напряжения (ψu) и тока (ψi),
При параллельном соединении приемников (рис. 5.22) они находятся под общим напряжением .
В комплексной форме выражения для тока в неразветвленной части цепи согласно уравнению электрического состояния для узла 1 (или узла 2) имеет вид
или
Под комплексной проводимостью понимают отношение комплекса тока к комплексу напряжения, или величину, обратную комплексу сопротивления .
Для нагрузки индуктивного характера, когда XL>XC,
Рис. 5.22
Для нагрузки емкостного характера XL<XC,
Пользуясь комплексными числами, анализ режимов в электрических цепях при смешанном соединении элементов можно производить рассмотренными ранее методами, например методом эквивалентных преобразований или методом пропорциональных величин.