Построение обратной матрицы. Матрица элементарных преобразований

Матрица элементарных преобразований

Элементарные преобразования матрицы A, такие как подстановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A слева на некоторую матрицу, соответствующую элементарному преобразованию. Выпишем некоторые такие матрицы с описанием элементарных преобразований.

1. Подстановка строк i и j эквивалентна умножению слева на матрицу, которая получается из единичной матрицы подстановкой i и j строк.

2. Умножение строки i на число a эквивалентно умножению слева на матрицу, отличающейся от единичной только одним элементом, стоящим на пересечении i строки и столбца и равного a.

3. Прибавление к i-ой строке j-ой, умноженной на число a равно сильно умножению слева матрицу, отличающейся от единичной только элементом, стоящим на пересечении i-ой строки и j-го столбца и равного a.

Аналогично, преобразования над столбцами матрицы эквивалентны умножению справа на матрицы элементарных преобразований.

Пусть A невырожденная матрица. Рассмотрим задачу построения обратной матрицы. Припишем справа к матрице A единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк добьемся, что бы на месте матрицы A располагалась единичная матрица. С точки зрения матричных операций получим равенство , где матрицы элементарных преобразований. Положим . Равенство равносильно равенствам и . Из этих равенств делаем вывод, что B – обратная матрицы к матрице A.

Совершенно аналогично, если припишем единичную матрицу снизу к матрице A, а затем элементарными преобразованиями столбцов добьемся чтобы на месте матрицы A стояла единичная матрица, то на месте единичной матрицы будет стоять обратная к A матрица.