Обратная матрица и её нахождение

3.2.1. Определение. Матрица B называется обратной к матрицеA, если она удовлетворяет условию AB = BA = E.

Матрица, обратная к A, обозначается через A .

3.2.2. Теорема. Обратная к матрице A существует тогда и только тогда, когда A является квадратной и det A ¹0. При этом

A = (det A) × , (3.1)

где n - размерность A, A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы A.

Таким образом, для того, чтобы найти обратную матрицу, прежде всего, необходимо убедиться, что det A ¹0. И если det A =0, то обратная не существует и искать нечего. Если det A ¹0, то можно применить формулу (3.1).

Например, найдём обратную к А = . Прежде всего, убеждаемся, что det A ¹0:

det A = =3×2×2+4×3×2+2×(-1)×(-1)-2×2×2-4×(-1)×2-3×3×(-1)=47.

Таким образом, det A ¹0. Значит, A существует.

В нашем случае

A = .

Имеем

A ₁₁=(-1)¹⁺¹ =2×2-3×(-1)=7; A ₂₁=(-1)²⁺¹ =-((-1)×2-3×2)=8;

A ₃₁=(-1)³⁺¹ =(-1)×(-1)-2×2=-3; A ₁₂=(-1)¹⁺² =-(4×2-2×(-1))=-10;

A ₂₂=(-1)²⁺² =3×2-2×2=2; A ₃₂=(-1)³⁺² =-(3×(-1)-4×2)=11;

A ₁₃=(-1)¹⁺³ =4×3-2×2=8; A ₂₃=(-1)²⁺³ =-(3×3-2×(-1))=-11;

A ₃₃=(-1)³⁺³ =3×2-4×(-1)=10.

Поэтому

A = =, то есть A =.

Проверка:

×=

= ,

То есть ×= .

Замечание. После нахождения обратной матрицы проверка желательна (хотя и необязательна), так как в силу большого количества арифметических операций вероятность их ошибок возрастает.

3.2.3. Другой метод нахождения обратной матрицы основывается на элементарных преобразованиях строк и заключается в следующем:

1) К матрице А (обратную к которой требуется найти) приписывается единичная той же размерности, что и А: А | E.

2) К матрице А | E (размерности n ´2 n) применяем элементарные преобразования строк так, чтобы привести её к виду E | B. Тогда B = A .

Ясно, что если A не существует, то на каком-то шаге мы придём к матрице А ₁| E ₁ такой, что некоторые строки А ₁ будут нулевыми, и дальнейшие преобразования с целью приведения к виду E | B становятся невозможными.