Доверительные интервалы

Раннее был рассмотрен вопрос об использовании выборочных оценок как численных параметров случайной величины, изученных на основе выборочных данных.

Однако такой способ позволяет получать лишь точечные оценки параметров. Более точный и надёжный способ оценивания параметров случайных величин заключается в определении интервала, а не единичного точечного значения. В этом случае необходимо определить интервал, в котором с заданной достоверностью будет заключено значение оцениваемого параметра.

Рассмотрим случай, когда среднее значение выборки n- наблюдений используется в качестве оценки истинного среднего значения случайной величины x - m _x.

Практически полезно находить для истинного среднего значения случайной величины x - m_x такой интервал, в котором с некоторой степенью достоверности будет заключено это истинное среднее значение. Этот интервал можно найти, если известно выборочное распределение, используемое в качестве оценки выборочной величины.

Функцию выборки, которая используется для оценки того или иного параметра, называют статистикой.

Для нормально распределённой случайной величины с неизвестным средним значением и дисперсией, эту вероятность, характеризующую выборочное среднее значение до извлечения выборки, можно определить следующим образом:

P ( )=a,

где - соответствующий квантиль распределения Стьюдента.

После извлечения выборки случайной величины x выборочное среднее значение и дисперсия принимают определённые числовые значения, а не являются случайными величинами.

Следовательно, приведенное выше выражение для вероятности, уже не применимо, так как отношение

либо попадает, либо не попадает в указанные пределы.

Иначе говоря, после того как выборка извлечена, верное значение для вероятности имеет вид:

P ( )=1,

P ( )=0,

в зависимости от того, попадает или не попадает в указанные пределы.

Будет ли точечное значение вероятности равно 1 или 0, обычно не известно. Но если повторно извлекается большое число выборок и по каждой выборке вычисляется выборочное среднее значение и стандартное квадратическое отклонение, то следует ожидать, что доля случаев, для которых отношение величин, входящих в приведённую формулу будет попадать в указанный интервал, примерно равна величине a. В таких случаях можно указать интервал, в который, как можно ожидать, отношение

попадает с очень большой степенью вероятности.

Такой интервал называется доверительным интервалом.

Вероятность, с которой доверительный интервал включает оцениваемое значение параметра, называется доверительной вероятностью.

При оценке среднего значения доверительный интервал для истинного среднего значения m_x можно получить по известным выборочным средним значениям и из соотношения .

При выводе неравенства учитывается, что значение квантиля =,

где - число степеней свободы.

Доверительная вероятность, соответствующая приведённому выше интервалу, составляет 1- a. Следовательно, статистический вывод можно сформулировать следующим образом: истинное среднее значение m_x попадает в данный интервал с доверительной вероятностью 1- a, илис доверительной вероятностью, равной 100∙(1- a).

Аналогичные статистические выводы можно сформулировать для оценок любых параметров, если известно соответствующее выборочное распределение, например, доверительный интервал для дисперсии будет определяться как

,

где -число степеней свободы

n- число наблюдений

S² - выборочная дисперсия

,- соответствующие квантили - распределения.

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.