Пример 1. Пусть необходимо извлечь выборку объёма n=25 из нормально распределённой случайной величины xсматематическим ожиданием mx=10идисперсией =4

Пусть необходимо извлечь выборку объёма n= 25 из нормально распределённой случайной величины x сматематическим ожиданием m_x=10 идисперсией =4. Хотим определить интервал, в котором с вероятностью 95% заключено выборочное среднее значение .

Очевидно, что выборочное среднее значение представляет собой одно значение, выбранное из нормально распределённой случайной величины x сосредним значением m= 10и=.

Для того чтобы найти интервал, в котором с вероятностью 95% заключено выборочное среднее значение , зададимся границами этого интервала такими, что вероятность попадания слева от интервала составляет 2,5% и справа - 2,5%, то есть вероятность нахождения случайной величины x вне интервала равна 5%.

Из формулы P (> )=a можно найти вероятность попадания:

P ( )=1-a

Из таблиц нормального распределения для a= 0,05 находим .

Таким образом, границами будут значения:

Поэтому с вероятностью, равной 95%, выборочное среднее значение будет находиться в пределах от 9,216 до 10,785.

Рассмотрим случай, когда случайная величина x распределена по закону, отличному от нормального. Из центральной предметной теоремы вытекает, что с увеличением объёма выборки n выборочное распределение среднего значения выборки приближается к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины x. Сточки зрения практики, предположение о нормальности выборочного распределения становится приемлемым во многих случаях при n=4 и хорошо оправдывается при n= 10 иболее. Следовательно, при достаточно больших объёмах выборки в качестве выборочного распределения среднего значения выборки для любой случайной величины x можно использовать выражение (*), независимо от закона распределения этой случайной величины.

2.Распределение выборочного среднего при неизвестной дисперсии.

Рассмотрим n – объём выборки независимых наблюдений случайной величины x.

случайная величина x распределена по нормальному закону сматематическим ожиданием m _x инеизвестной дисперсией . Укажем распределение выборочного среднего.

Эта величина подчиняется распределениюСтьюдента с степенями свободы. Отсюда вытекает следующее вероятностное утверждение относительно до извлечения выборки.