Математическая формулировка задачи

Линейное дифференциальное уравнение теплопроводности для тел классической формы при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид

где x₁ – первая координата в ортогональной системе координат; k = 1, 2 или 3 – коэффициент формы тела; k – коэффициент температуропроводности.

Температурное поле будем находить в расчетной области, ограниченной осью симметрии тела и его внешней границей (см. рис. 1.2). Для выделения единственного решения данного уравнения зададим условия однозначности:

— размер расчетной области ;

— теплофизические свойства материала тела известны: a и λ;

— внутренние источники теплоты отсутствуют: ;

— начальные условия: Т (х₁, 0)=Т₀;

— граничные условия:

а) на внутренней границе из условия симметрии температурного поля следует, что ;

б) на внешней границе теплообмен определяется температурой окружающей среды T_f и коэффициентом теплоотдачи

Решением поставленной задачи будет температурное поле для заданных условий однозначности.

Рис. 2.2. К расчету температурного поля при ГУ III рода

В практике инженерных расчетов находят общее решение температурного поля в безразмерном виде в зависимости от безразмерного коэффициента теплоотдачи – критерия Био (Bi) в безразмерных точках пространства (X) в моменты времени Fo. В этом случае математическая формулировка задачи имеет вид:

Начальное условие

Граничные условия:

а) на внутренней границе ;

б) на внешней границе ,

где – безразмерная температура; – безразмерная координата; R – характерный или определяющий размер тела; – критерий Биó; λ_w – коэффициент теплопроводности твердого тела; – безразмерное время – критерий Фурье.

В результате решения задачи нестационарной теплопроводности, записанной в безразмерном виде, получаем функциональную зависимость . Для удобства анализа решения данную зависимость представляют графически для теплового центра и поверхности каждого тела в отдельности. Т.о. наиболее часто используют шесть графиков зависимости для конкретных значений k=1,2 и 3 в точках X=0 и X=1, которые приведены в учебниках по ТМО и в методических указаниях №1684. На рис. 2.3. показан общий вид номограммы расчета нестационарной теплопроводности в телах простейшей формы при граничных условиях III рода.

Рис.2.3. Номограмма для расчета нестационарной теплопроводности при ГУ III рода

При расчете нестационарной теплопроводности существует 2 основные постановки задачи: прямая и обратная. Целью решения прямой задачи является определение температурного поля (Θ) при заданных условиях однозначности (Fo, Bi). В результате решения обратной задачи теплопроводности по известному температурному полю (Θ) находят условия однозначности – время процесса теплопроводности или коэффициент теплоотдачи. Если по условию задачи заданы Θ и Bi, то по графику определяют критерий Fo, а затем время процесса. Если по условию задачи заданы Θ и Fo, то по графику определяют критерий Bi, по значению которого рассчитывают коэффициент теплоотдачи.

Прямая постановка задачи расчета нестационарной теплопроводности

Дано: , где – время нагрева или охлаждения тела

Найти: 1) температуру поверхности тела

2) температуру теплового центра тела

3) среднюю по массе температуру тела .

Алгоритм поставленной выше задачи заключается в следующем.

1. Перед началом расчета необходимо рассчитать размер расчетной области R, который для бесконечного цилиндра и шара равен радиусу тела, а для бесконечной пластины – при симметричном нагреве или охлаждении и, соответственно, , если теплообмен на одной из сторон пластины отсутствует – несимметричный процесс теплопроводности.

2. Рассчитываем критерии и по графикам для поверхности и теплового центра тела определяем безразмерные температуры поверхности и центра соответственно.

3. Находим температуры на поверхности и в центре тела. Т.к. по определению , то, выражая неизвестную температуру, получим , где Т = Т_w, если и Т = Т_с, если .

4) Рассчитываем среднюю по массе температуру тела в конце процесса теплопроводности. При допущении параболического распределения температуры по сечению тел простейшей формы формула для расчета среднемассовой температуры будет иметь вид: