Формула Пуазейля

Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямоли­нейной цилиндрической трубы радиуса R. Линии тока параллельны оси трубы. Если выделить произвольную бесконечно узкую трубку тока, то из условия несжимаемости следует, что скорость течения v будет одна и та же вдоль всей трубки тока — скорость жидкости не может меняться вдоль трубы. Но она, конечно, может изменяться с изменением расстояния r от оси трубы. Таким образом, скорость жидкости v является функцией радиуса r.

Примем ось трубы за ось X, направленную в сторону тече­ния. Выделим в трубе произвольную бесконечно короткую цилиндрическую часть длины dx и радиуса r (рис. 1). На ее боковую поверхность в направлении движения действует каса­тельная сила внутреннего трения

Кроме того, на основания цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений dF, =

При стационарном течении сумма этих двух сил должна обра­щаться в нуль, а потому

Скорость v (r), а с ней и производнаяне меняются с изменением х.

Поэтому должна быть постоянной и производная причем эта производная должна быть равнагде P₁ — давление на входе трубы, Р₂ — на выходе, а l — длина трубы. В результате приходим к уравнению

Интегрируя, получим

Постоянная интегрирования С определится из условия, что на стенке трубы, т. е. при r = R скорость v должна обращаться в нуль. Это дает

(16.19)

Скорость v максимальна на оси трубы, где она достигает значения

(16.20)

При удалении от оси скорость v меняется по параболическому закону.

Определим расход жидкости, т. е. количество ее, ежесе­кундно протекающее через поперечное сечение трубы. Масса жид­кости, ежесекундно протекающая через кольцевую площадку с внутренним радиусом r и внешним r + dr, равна Подставляя сюда выражение для v (16.19)и интегрируя, находим иско­мый расход жидкости

Или

(16.21)

Расход жидкости пропорционален разности давлений P_t — Р₂, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости. Эти закономер­ности были установлены экспериментально и независимо друг от друга в 1839 г. Гагеном и в 1840 г. Пуазейлем (1799—1869). Гаген исследовал движение воды в трубах, Пуазейль — течение жид­костей в капиллярах. Формула (16.21) называется формулой Пуа-зейля, хотя сам Пуазейль и не выводил ее, он исследовал вопрос только экспериментально. На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения коэффициентов вяз­кости жидкостей.

Лекция 18