Функция j называется потенциалом скоростей

Примером потенциального течения может служить течение жидко­сти вдоль параллельных прямых линий с постоянной скоростью. Можно показать, что всякое течение идеальной жидкости, возникшее из состояния покоя под действием консервативных сил, является потенциальным.

При больших числах Рейнольдса силы вязкости вдали от поверхности обтекаемого тела не играют существенной роли. Здесь они малы по сравнению с силами, обусловленными разностями дав­лений. Ими можно пренебречь и считать жидкость идеальной. Не так, однако, обстоит дело вблизи поверхности обтекаемого тела. Силы вязкого трения вызывают прилипание жидкости к поверхности обтекаемого тела, т. е. удерживают частицы жидкости в состоянии покоя, несмотря на наличие градиента давления в направлении по­тока жидкости. Отсюда следует, что вблизи поверхности тела силы вязкого трения того же порядка, что и силы разности давлений. Чтобы это было так; скорость жидкости должна очень быстро нарастать при удалении от поверхности тела. Это быстрое нарастание происходит в тонком приповерхностном слое жидкости, называемом пограничным слоем. Теория пограничного слоя была создана в основном Л. Прандтлем.

Толщина пограничного слоя относится к числу не вполне четко определенных понятий, так как граница слоя со стороны жидкости не является резко очерченной. Толщина слоя зависит не только от свойств жидкости, но и от формы поверхности обтекаемого тела. Она не остается постоянной на поверхности тела, а возрастает в направлении потока от передней части тела к задней.

Подъемная сила. С явлением отрыва связано и возникновение подъемной силы. При полете самолета с постоянной скоростью его ориентация в прост­ранстве остается неизменной. Это указывает на то, что при таком

рис.5

полете моменты всех внешних сил, действующих на самолет, урав­новешиваются, а его момент количества движения остается неизмен­ным. Для упрощения будем рассматривать отдельное крыло, равно­мерно движущееся в воздухе и ориентированное перпендикулярно к плоскости рисунка (рис.5). Длину крыла будем считать бес­конечно большой. Такое крыло называется крылом бесконечного размаха. Удобно перейти к системе отсчета, связанной с крылом, поместив начало координат в одну из точек крыла, например в его центр масс С.

Для возникновения подъемной силы необходимо, чтобы крыло было несимметрично пли несимметрично расположено относительно горизонтальной плоскости, в которой оно движется. При движении круглого невращающегося цилиндра, например, никакой подъемной силы возникнуть не может: Поэтому мы предполагаем, что указан­ной симметрии нет. В пограничном слое скорости частиц воздуха возрастают при удалении от поверхности крыла. Благодаря этому движение в пограничном слое вихревое, а потому содержит вращение. Сверху крыла вращение совершается по, а снизу — против часовой стрелки (если поток жидкости нате­кает слева направо). Допустим, что в результате отрыва какая-то масса воздуха, ранее находившаяся в пограничном слое снизу от крыла, унесена потоком в виде одного или нескольких вихрей. Обладая вращением, эта масса унесет и связанный с ней момент количества движения. Но общий момент количества движения воз­духа не может измениться. Если отрыв пограничного слоя сверху крыла не произошел, то для сохранения момента количества движения воздух во внешнем потоке должен начать вращаться вокруг крыла по часовой стрелке. Иными словами, во внешнем потоке вокруг крыла должна возникнуть циркуляция скорости воздуха почасовой стрелке, накладывающаяся на основной поток. Скорость потока под крылом уменьшится, а над ним — увеличится. К внеш­нему потоку применимо уравнение Бернулли. Из него следует, что в результате циркуляции давление под крылом возрастет, а над ним — уменьшится. Возникшая разность давлений проявляется в подъемной силе, направленной вверх. Наоборот, если унесенные вихри образовались из частиц пограничного слоя сверху крыла, го возникнет циркуляция против часовой стрелки, а «подъемная» сила будет направлена вниз.

Формула Жуковского – Кутта. Зависимость величины подъ­емной силы от циркуляции ско­рости была установлена независимо друг от друга Н. Е. Жуковским и Кутта. Их формула относится к крылу бесконечного размаха и дает величину подъемной силы, от­несенную к единице длины такого крыла. Формула предполагает, что крыло движется равномерно в идеальной жидкости, и вокруг него установилась циркуляция скорости постоянной величины.

Таким образом, в системе от­счета, в которой крыло неподвижно, движение жидкости потенци­ально, но с циркуляцией. В идеальной жидкости величина цирку­ляции практически может быть любой. Однако вязкость, хотя бы и предельно малая, приводит к однозначной за­висимости величины циркуляции от параметров системы. При этом сама циркуляция от вязкости практически не зависит. Поэтому формула Жуковского — Кутта дает хорошее приближение для подъемной силы крыла также и в воздухе, обладающем вязкостью.

Допустим, что поток жидкости простирается во все стороны до бесконечности. Как и раньше, будем предполагать, что невозмущенный поток горизон­тален; ось X направлена вдоль потока, а ось Y — вертикально вверх перпендикулярно к нему. Пусть крыло К помещено в начале коорди­нат (рис. 6). Поместим над крылом и под ним бесконечное множе­ство в точности таких же крыльев, находящихся на равных рассто­яниях друг от друга. Пусть вокруг каждого крыла возбуждена такая же циркуляция, как и вокруг крыла К. Тогда установившееся течение жидкости будет строго периодично по у. Если расстояние между соседними крыльями очень велико по сравнению с попереч­ными размерами крыла, то введение добавочных крыльев может исказить течение в непосредственной близости крыла К только пре­небрежимо мало. Существенные изменения произойдут лишь вдали от крыла К. Проведем прямоугольный контур ABCD, горизонталь­ные стороны которого проходят посередине между соседними крыль­ями. Пусть длина его AD бесконечно велика по сравнению с высо­той. На боковых сторонах АВ и CD скорость v слагается из горизон­тальной скорости невозмущенного потока и вертикальной ско­рости v', обусловленной циркуляцией. За положительную цирку­ляцию примем циркуляцию по часовой стрелке. При такой цирку­ляции на стороне АВ скорость v' будет направлена вверх (поло­жительна), а на CD — вниз (отрицательна).

рис.6

Рассмотрим жидкость в прямоугольном параллелепипеде с основанием ABCD и единичной высотой, перпендикулярной к плоскости рисунка. Через время dt жидкость, находившаяся в параллелепипеде, переместится в объем A'B'C'D'. Рассчитаем приращение количества движения ее d/. При стационарном течении это приращение будет равно разности в один и тот же момент времени между количеством движения жидко­сти в новых частях пространства, которые она заняла за время dt, и количеством движения в тех частях пространства, из которых она ушла за то же время. Но ввиду полной периодичности картины дви­жения в направлении оси y количества движения в объемах АА'М и BB'N в точности одинаковы. Одинаковы и количества движения в объемах MDD' и NCC'. Поэтому искомое приращение количества движения dl найдется, если из количества движения в объеме CC'D'D вычесть количество движения в объеме АА'В'В. Каждый из этих объемов равен lv_m dt, где l — длина стороны АВ = CD; горизонтальные скорости одинаковы в обоих объемах, а верти­кальные скорости v' отличаются знаками. Поэтому приращение по­лучает только вертикальная составляющая количества движения, и это приращение равно

Но 2lv' = Г есть циркуляция скорости v' по контуру ABCD, так как стороны AD и ВС никакого вклада в циркуляцию не дают. Скорость v' на этих сторонах одна и та же, и при обходе по контуру ABCD они проходятся в противоположных направлениях. Величина Г есть в то же время циркуляция по контуру ABCD полной скорости,(постоянная составляющая никакого вклада в циркуляцию внести не может).

Таким образом,

Приращение количества движения жидкости равно импульсу внеш­них сил, действующих на нее. Из них силы давления, действующие на рассматриваемую массу жидкости по поверхности ABCD, можно не принимать во внимание, так как равнодействующая всех таких сил давления равна нулю. Остается единственная сила, с которой крыло действует на жидкость. Она равна и противоположна по знаку подъемной силе F_y. Применяя теорему об импульсе силы, получаем

Из вывода ясно, что под Г следует понимать циркуляцию по контуру ABCD. Но для потенциального течения контур циркуляции g можно провести произвольно. Важно только, чтобы он охватывал крыло К. и не охватывал другие крылья. Взяв в качестве g произвольный кон­тур, будем удалять в бесконечность все остальные крылья, не трогая при этом сам контур g. Тогда в пределе мы придем к случаю единст­венного крыла, обтекаемого потоком жидкости. В этом пре­дельном случае полученный результат сохраняет силу. Это и есть формула Жуковского — Кутта.

Эффект Магнуса. Если неподвижный круглый цилиндр обтекается равномерным потоком воздуха, перпендикулярным к его оси, то вследствие сим­метрии возникает только лобовое сопротивление, но никакой подъ­емной силы не появляется. Если, однако, цилиндр привести во вра­щение, то появляется подъемная сила, перпендикулярная к направ­лению внешнего потока, и цилиндр отклоняется в сторону. Это явление называется эффектом Магнуса (1802—1870) по имени учено­го, открывшего и исследовавшего его экспериментально. Допустим сначала, что цилиндр только вращается с постоянной скоростью, например, по часовой стрелке (рис. 7) Из-за трения приходит в движение и окружающий воздух. Образуется пограничный слой. Движение в пограничном слое вихревое, оно слагается из потенциального движения, на которое наклады­вается вращение.

рис. 7

Ввиду того, что ско­рость воздуха убывает наружу, враще­ние в пограничном слое происходит против часовой стрелки, т. е. противо­положно вращению самого цилиндра. При больших числах Рейнольдса ламинарное движение в пограничном слое неустой­чиво и должно переходить в турбулентное. Но и в турбулентном пограничном слое вращение частиц воз­духа в основном должно происходить противоположно направлению вращения цилиндра. Допустим теперь, что вращающийся цилиндр обдувается равномерным потоком воздуха слева направо. Сверху цилиндра направление потока совпадает с направлением вращения цилиндра, а снизу — противоположно ему. Частицы в пограничном слое сверху цилиндра ускоряются потоком, что препятствует отрыву погранич­ного слоя. Наоборот, снизу поток тормозит движение в пограничном слое и способствует его отрыву. Отрывающиеся части погранич­ного слоя уносятся потоком в виде вихрей, в которых направле­ние вращения происходит против часовой стрелки. Вследствие этого вокруг цилиндра возникает циркуляция скорости в противополож­ном направлении, т. е. в том же направлении, в каком вращается цилиндр. Вместе с циркуляцией появляется и подъемная сила, на­правленная вверх. При изменении направления вращения цилиндра на противоположное подъемная сила также меняет направление на противоположное. Для бесконечно длинного цилиндра в обоих случаях величина подъемной силы определяется фор­мулой Жуковского — Кутта.