Моменты, действующие на звенья ИМ

Введем следующие обозначения (рис.3.2):

M_{в i} – суммарный внешний момент, приложенный к звену i,

M_{и i} – вектор моментов сил инерции i-го звена (приложен к центру масс звена i),

m_i – вектор моментов сил реакции в месте сочленения звеньев i-1 и i, приложенный к звену i (к звену i-1 приложен равный по величине и противоположный по знаку вектор).

	fn(0)

mn(0)

ln

СКn

Рис.1.2. Моменты, действующие на звенья ИМ.

Составим уравнения кинето-статического равновесия каждого из тел под действием внешних моментов, моментов реакции и моментов сил инерции. В проекциях на оси СК₀:

M_вn ⁽⁰⁾ + M_иn⁽⁰⁾ + m_n ⁽⁰⁾ - l(t_0n (v_n (1-s_n)q_n + l_n + r_n)) f_n ⁽⁰⁾ = 0,

M_вn-1 ⁽⁰⁾ + M_иn-1⁽⁰⁾ + m_n-1 ⁽⁰⁾ - m_n ⁽⁰⁾ –

l(t_0n-1 (v_n-1 (1-s_n-1)q_n-1 + l_n-1 + r_n-1)) f_n-1 ⁽⁰⁾ +l(-t_0n-1 r_n-1) (-f_n ⁽⁰⁾ ) = 0,

…

M_вi ⁽⁰⁾ + M_иi⁽⁰⁾ + m_i ⁽⁰⁾ - m_i+1 ⁽⁰⁾ –

l(t_0i (v_i (1-s_i)q_i + l_i + r_i)) f_i ⁽⁰⁾ +l(t_0i r_i) f_i+1 ⁽⁰⁾ = 0,

…

M_в1 ⁽⁰⁾ + M_и1⁽⁰⁾ + m₁ ⁽⁰⁾ - m₂ ⁽⁰⁾ –

l(t₀₁ (v₁ (1-s₁)q₁ + l₁ + r₁)) f₁ ⁽⁰⁾ +l(t₀₁ r₁) f₂ ⁽⁰⁾ = 0.

Из всех моментов, действующих на каждое из звеньев незвестны только моменты реакции. Выполнив последовательно, начиная от звена n, подстановку значений моментов реакции в уравнения для n-1, n-2, …1 звеньев, получим последовательно:

m_n ⁽⁰⁾ = - (M_вn ⁽⁰⁾ + M_иn⁽⁰⁾) + l(t_0n (v_n (1-s_n)q_n + l_n + r_n)) f_n ⁽⁰⁾ ,

m_n-1 ⁽⁰⁾ = - (M_вn-1 ⁽⁰⁾ + M_иn-1⁽⁰⁾ ) + m_n ⁽⁰⁾ +

l(t_0n-1 (v_n-1 (1-s_n-1)q_n-1 + l_n-1 + r_n-1)) f_n-1 ⁽⁰⁾ - l(t_0n-1 r_n-1) f_n ⁽⁰⁾,

…

m_i ⁽⁰⁾ = - (M_вi ⁽⁰⁾ + M_иi⁽⁰⁾ ) + m_i+1 ⁽⁰⁾ +

l(t_0i (v_i (1-s_i)q_i + l_i + r_i)) f_i ⁽⁰⁾ - l(t_0i r_i) f_i+1 ⁽⁰⁾,

…

m₁ ⁽⁰⁾ = - (M_в1 ⁽⁰⁾ + M_и1⁽⁰⁾ ) + m₂ ⁽⁰⁾ +

l(t₀₁ (v₁ (1-s₁)q₁ + l₁ + r₁)) f₁ ⁽⁰⁾ -l(t₀₁ r₁) f₂ ⁽⁰⁾.

и

m_n ⁽⁰⁾ = - (M_вn ⁽⁰⁾ + M_иn⁽⁰⁾) + l(t_0n (v_n (1-s_n)q_n + l_n + r_n)) f_n ⁽⁰⁾ ,

_n

m_n-1 ⁽⁰⁾ = - S (M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) +

_n ^j=n-1

Sl(t_0j (v_nj (1-s_j)q_j + l_j + r_j)) f_j ⁽⁰⁾ - l(t_0n-1 r_n-1) f_n ⁽⁰⁾,

^j=n-1

…

_n

m_i ⁽⁰⁾ = - S (M_вj⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) +

^j=i

_{n n-1}

S l(t_0j (v_j (1-s_j)q_j + l_j + r_j)) f_j ⁽⁰⁾ - S l(t_0j r_j) f_j+1 ⁽⁰⁾,

^{j=i j=i}

…

_n

m₁ ⁽⁰⁾ = - S(M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) +

^j=1

_{n n-1}

S l(t_0j (v_j (1-s_j)q_j + l_j + r_j)) f_j ⁽⁰⁾ - S l(t_0j r_j) f_j+1 ⁽⁰⁾.

^{j=1 j=1}

Учитывая, что

_n

f _j⁰⁾ = - S (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾),

^{k =j}

запишем выражение для m_i ⁽⁰⁾:

_n

m_i ⁽⁰⁾ = - S (M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) -

^j=i

_{n n n-1 n}

S l(t_0j (v_j (1-s_j)q_j + l_j + r_j)) S (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) + S l(t_0j r_j) S (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) =

^{j=i k=j j=i k=j+1}

_{n n n}

- S (M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) - S l(t_0j (v_j (1-s_j)q_j + l_j) S (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) -

^{j=i j=i k=j}

_{n n n-1 n}

S l(t_0j r_j) S (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) + S l(t_0j r_j) S (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾).

^{j=i k=j j=i k=j+1}