Силы, действующие вдоль осей шарниров ИМ

21 22 23 24 25 26 27

ДРУГОЙ ВАРИАНТ ВЫКЛАДОК (лекции 2011).

Сумма двух последних слагаемых дает

- S l(t₀_j r_j) (F_в_j ⁽⁰⁾+ F_и_j⁽⁰⁾).

^j⁼ⁱ

В самом деле:

_n _n _n_-1_n _n

- S (_j) S (_k)+ S (_j) S (_k) = - S (_j) (_k₌_j).

^{j=i k=j j=i k=j+1} ^j=i

j = i k = i,i+1,…,n j = i k = i+1,i+2,…,n

j = i +1 k = i+1,…,n j = i+1 k = i+2,…,n

…

j = n -1 k = n-1,n j = n-1 k = n

j = n k = n

После вычитания

j = i k = i= j

j = i +1 k = i+1 = j

…

j = n -1 k = n-1 = j

j = n k = n = j.

С учетом этого выражение для m_i⁽⁰⁾ примет вид:

_n _n _n

m_i ⁽⁰⁾ =- S (M_в_j ⁽⁰⁾+ M_и_j⁽⁰⁾) - S l(t₀_j (v_j (1-s_j)q_j + l_j)) S (F_в_k ⁽⁰⁾+ F_и_k⁽⁰⁾)-

^{j=i j=i k=j}

S l(t_0j r_j) (F_в_j⁽⁰⁾+ F_и_j⁽⁰⁾).

^j⁼ⁱ

i = 1,2,…,n.

Выражение для M_и_j⁽⁰⁾ имеет вид:

M_и_j⁽⁰⁾ = - (I_jw^`_j)⁽⁰⁾- l(w_j⁽⁰⁾) (I_jw_j)⁽⁰⁾.

В последнем соотношении обозначено (I_jw_j)⁽⁰⁾ – вектор момента количества движения звена j в СК₀. Его можно представить еще и так:

(I_j w_j)⁽⁰⁾ = t₀_j (I_j t_j₀ w_j⁽⁰⁾) = (t₀_j I_j t_j₀)w_j⁽⁰⁾= I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾,

где I_j⁽⁰⁾= t₀_j I_j t_j₀ - тензор инерции звена j в системе коодринат, оси которой параллельны осям СК₀, а начало совмещено с центром масс звена j. Аналогично

(I_j w`_j)⁽⁰⁾ = I_j⁽⁰⁾ w^`_j⁽⁰⁾.

Справедливость выражения

I_j⁽⁰⁾= t₀_j I_j t_j₀

Следует из того, что

I⁽⁰⁾_j= S_n_il(r ⁽⁰⁾_n_i) m _n_il^T(r ⁽⁰⁾_n_i) = S_n_il(t_0j r _n_i) m _n_il^T(t_0j r _n_i) =

S_n_it_0j l(r _n_i) t_j0 m _n_it_0j l^T(r _n_i) t_j0= t_0j {S_n_il(r _n_i) m _n_il^T(r _n_i)} t_j0= t_0j I_jt_j0.

Диагональные элементы матрицы I_i - моменты инерции звена i относительно осей СК_i_с; недиагональные элементы – смешанные моменты инерции.

Подставив соотношение для M_и_j⁽⁰⁾в формулу для расчета m_i ⁽⁰⁾, получим:

m_i⁽⁰⁾ = S (I_j⁽⁰⁾ w^`_j⁽⁰⁾+ l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾- M_в_j⁽⁰⁾) +

^j=i

_{n n}

S l(t_0j (v_j(1-s_j)q_j+ l_j) S (m_kV^`_k⁽⁰⁾ - F_в_k⁽⁰⁾)+

^{j =i k=j}

S l(t_0j r_j) (m_jV^`_j⁽⁰⁾- F_в_j⁽⁰⁾),

^j⁼ⁱ

i = 1,2,…,n.

Последнее выражение можно преобразовать. Рассмотрим отдельно второе и третье слагаемые в этом выражении. Во втором слагаемом переменим обозначения (j<->k) для индексов суммирования, а затем изменим порядок суммирования:

_n _n _n

S l(t₀_k (v_k (1-s_k)q_k + l_k) S (m_j V^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j ⁽⁰⁾)+ S l(t₀_j r_j) (m_j V^`_j ⁽⁰⁾- F_в_j ⁽⁰⁾) =

^{k=i j=k j =i}

k = i j = i, i+1,…,n

k = i+1 j = i+1,…,n -> j = i,…,n; k = i,…,j.

…

k = n j = n

_{n j n}

S S l(t_0k (v_k(1-s_k)q_k+ l_k) (m_jV^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j⁽⁰⁾)+ S l(t_0j r_j) (m_jV^`_j⁽⁰⁾- F_в_j⁽⁰⁾) =

^{j=i k=i j =i}

_{n j j}

S l (St_0k (v_k(1-s_k)q_k+ l_k) + t_0j r_j) (m_jV^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j⁽⁰⁾) = S l(R_ji⁽⁰⁾)(m_jV^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j⁽⁰⁾).

^j⁼ⁱ^k⁼ⁱ^j⁼ⁱ

Здесь мы воспользовались тем, что

R_ji⁽⁰⁾= t₀_jt_j + S t_0k (v_k (1-s_k)q_k + l_k)

^k⁼ⁱ

и тем, что t_j = r_j.

С учетом выполненных преобразований выражение для расчета моментов реакции связей примет вид:

m_i ⁽⁰⁾ = S (I_j⁽⁰⁾ w^`_j⁽⁰⁾+ l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾- M_в_j ⁽⁰⁾+ l(R_ji⁽⁰⁾)(m_j V^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j ⁽⁰⁾)).

^j⁼ⁱ

i = 1,2,…,n.

Рассмотрим участок кинематической цепи, начиная от звена i. Согласно принципу Даламбера этот участок кинемсатической цепт находтся в равновесии под действием всех внешних сил и всех сил инерции, действующих на звенья от i до n и сил реакции связей действующих на звено i, что эквивалентно записи

_{n n}

m_i⁽⁰⁾ + S (M_и_j⁽⁰⁾+ M_в_j⁽⁰⁾)+ Sl(R_ji⁽⁰⁾)(F_и_{j +} F_в_j⁽⁰⁾) = 0,

^{j=i j=i}

где

R_ji⁽⁰⁾= t_0jt_j + S t_0k (v_k(1-s_k)q_k+ l_k)

^k⁼ⁱ

Учитывая¸что

M_и_j⁽⁰⁾ = - I_j⁽⁰⁾w^`_j ⁽⁰⁾- l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾w_j⁽⁰⁾,

F_и_j⁽⁰⁾ = - m_j V^{` (0)}_j

получим

m_i⁽⁰⁾ = S (I_j⁽⁰⁾ w^`_j⁽⁰⁾+ l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾- M_в_j⁽⁰⁾+ l(R_ji⁽⁰⁾)(m_jV^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j⁽⁰⁾)).

^j=i

Геометрический смысл векторов R_ji⁽⁰⁾был рассмотрен выше.

Последние выражения совместно с выражениями для расчета w_j⁽⁰⁾, w^`_j⁽⁰⁾позволяют определить моменты, действующие на звенья ИМ при его движении. Можно видеть, что к звену i приложены все внешние моменты, действующие на звенья с номерами от i до n, а также моменты сил инерции, обусловленные движением всех звеньев ИМ. На первое звено ИМ действуют все внешние моменты и моменты сил инерции всех звеньев. Момент реакции со стороны основания ИМ (действует на первое звено) равен m₁⁽⁰⁾. ИМ воздействует на основание с моментом (-m₁⁽⁰⁾).

Ось шарнира с номером i совпадает с осью Z_i_-1.Поэтому для определения сил, действующих вдоль осей шарниров следует, во-первых, векторы сил реакций связей перевести в системы из СК₀в СК _i_-1, а во-вторых, спроецировать получившиеся векторы на оси Z_i_-1:

_{n n}

f _Zi^(i-1)= e^T t_i-1it_i0S (m_jV^{` (0)}_j- F_в_j⁽⁰⁾) = v_i^T t_i0S (m_jV^{` (0)}_j- F_в_j⁽⁰⁾),