Уравнения статического равновесия ИМ

Силы и моменты, развиваемые приводами манипулятора. Обратная задача динамики ИМ.

Моменты, действующие вдоль осей шарниров.

Для определения моментов, действующих вдоль осей шарниров следует, во-первых, векторы моментов реакций связей перевести из СК₀в СК _i_-1, а во-вторых, спроецировать получившиеся векторы на оси Z_i_-1:

m _Zi^(i-1) = v_i^T t_i0S (I_j⁽⁰⁾ w^`_j⁽⁰⁾+ l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾- M_в_j⁽⁰⁾)+

^j=i

v_i^T t_i0 S l(R_ji⁽⁰⁾)(m_jV^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j⁽⁰⁾),

^j⁼ⁱ

i = 1,2,…,n.

Силы и моменты, с которыми ИМ воздействует на оси шарниров равны соответственно –f _Zi⁽ⁱ^-1), -m _Zi ⁽ⁱ^-1) (i = 1,2,…,n).

Силы и моменты, развиваемые приводами манипулятора, определяются из выражений (3.5), если соответствующий шарнир поступательного типа или из выражений (3.6), если шарнир вращательного типа.

Для того, чтобы учесть тип шарнира воспользуемся множителями-индикаторами s_i. Обозначим

m_д_i = (1 -s_i) *сила, развиваемая i-м приводом +

s_i * момент, развиваемый i-м приводом.

Силы и моменты, развиваемые приводами, действуют вдоль осей шарниров. Их значения определяются по выражениям п.1.3, если соответствующий шарнир поступательного типа, или по выражениям п.1.4, если шарнир вращательного типа. Нужно помнить, что сила (или момент) привода с номером i действует вдоль оси Z СК _i_-1. Тогда

m_д_i = (1 - s_i) f _Zi⁽ⁱ^-1)+ s_i m _Zi ⁽ⁱ^-1).

Подставив в последнее выражение значения сил и моментов, развиваемых приводами, получим

(1 - s_i) v_i^T t_i0S (m_jV^{` (0)}_j- F_в_j⁽⁰⁾) +

^j=i

s_iv_i^T t_i0S (I_j⁽⁰⁾ w^`_j⁽⁰⁾+ l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾- M_в_j⁽⁰⁾)+

^j=i

s_i v_i^T t_i0 S l(R_ji⁽⁰⁾)(m_jV^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j⁽⁰⁾) = m_д_i,

^j=i

i = 1,2,…,n

Заметим, что а) s_i v_i^T t_i0= с_i^{(0) T}, б) (1 - s_i) v_i^T t_i0+ s_i v_i^T t_i0 l(R_ji⁽⁰⁾) = D_ji^{(0) T}.

Замечание а) очевидно (устанавливаем сравнением с полученными выше выражениями для с_i⁽⁰⁾). Для того, чтобы убедиться в справедливости замечания б) проделаем следующие операции над D_ji⁽⁰⁾:

(D_ji⁽⁰⁾)^T= ((1 - s_i) v_i^T t_i0+ s_i v_i^T t_i0 l(R_ji⁽⁰⁾))^T= t_0iv_i (1-s_i) + l^T(R_ji⁽⁰⁾)t_0iv_is_i =

t_0iv_i (1-s_i) - l(R_ji⁽⁰⁾)t_0iv_is_i ₌t_0iv_i (1-s_i) + l(t_0iv_is_i) R_ji⁽⁰⁾= D_ji⁽⁰⁾

С учетом этого выражение для сил и моментов приводов представим в виде:

_n _n

S с_i⁽⁰⁾^T(I_j⁽⁰⁾ w^`_j⁽⁰⁾+ l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾- M_в_j ⁽⁰⁾) +SD_ji⁽⁰⁾^T(m_j V^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j ⁽⁰⁾) = m_д_i_.

^j⁼ⁱ^j⁼ⁱ

Последнее уравнение совместно с полученными ранее выражениями для w^`_j⁽⁰⁾,w_j⁽⁰⁾, V^`_j⁽⁰⁾ позволяют определить силы и (или) моменты, которые развивают приводы при известных параметрах движения звеньев ИМ (q _i, q^` _i, q`` _i, i = 1,2,…,n). Определение сил и (или) моментов, развиваемых приводами по заданным параметрам движения носит название обратнай задачи динамики (ОЗД) ИМ.

Отметим, что произведение каких-либо двух векторов вида a^($)^Tb^($)есть координатная запись скалярного произведения векторов a и b, представленных в проекциях на оси СК_$, т.е. векторов a^($)и b^($). Исходя из этого момент (или сила) воздействующие на i-й привод ИМ есть сумма скалярных произведений векторов с_i⁽⁰⁾ и I_j⁽⁰⁾ w^`_j⁽⁰⁾+ l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾- M_в_j ⁽⁰⁾(j = i,…,n) плюс сумма скалярных произведений векторов D_ji⁽⁰⁾и (m_j V^`_j⁽⁰⁾ - F_в_j ⁽⁰⁾) (j = i,…,n).