Которого являются частные производные этой функции, вычисленные в этой точке

11 12 13 14 15 16 17

Зададим вектор следующим образом: .

Выберем в области D произвольную так, чтобы выполнялось условие: .

Если - переменные, то точка М будет перемещаться по области в данном направлении .

М₀

Из заданных условий следует:

Полное приращение функции , где - бесконечно малые более высокого порядка малости, чем .

Пусть .

Скорость изменения функции при движении точки от в данном направлении измеряется с помощью специальной производной, которую называют “производная по направлению”.

9.2. Производной по направлению данной функции в данном направлении , вычисленнойв данной точке будем назывть предел отношения полного приращения функции к вызвавшему его приращению вектора-направления , при условии, что последнее стремится к нулю, а также при условии, что такой предел существует и конечен.

.

.

9.3. Наискорейшее возрастание функции происходит при движении от данной точки в направлении градиента.

, поэтому принимает максимальное значение, когда .

9.4. Градиент функции в данной перпендикулярен к касательной линии уровня в этой точке.

Линия уровня или кривая безразличия это множество всех точек в области определения функции в которых функция принимает одно и то же значение z₀.

Пусть , тогда уравнение линии уровня, прохоящей через эту точку.

Продифференцируем последнее равенство по х, тогда получим: , следовательно угловой коэффициент касательной к линии уровня в можно вычислить по формуле Направляющие косинусы вектора равны соответственно

, следовательно .

касательной.