Квадратичные формы

Определение. Квадратичной формой (квадратичной функцией) называется функция R (или C), значений которой определяются равенством , где - некоторая симметричная билинейная форма.

Пример. Если - скалярное произведение в пространстве геометрических векторов (симметричная билинейная форма), то соответствующая квадратичная форма - это квадрат длины вектора.

Итак, по билинейной форме можно построить квадратичную форму. Обратно, имея квадратичную форму, можно восстановить билинейную форму:

Отсюда .

Билинейная форма называется полярной к квадратичной форме .

Зафиксируем базис в пространстве. Матрицей квадратичной формы называется матрица соответствующей билинейной формы:

.