Определение. Базис пространства будем называть каноническим для квадратичной формы
, если матрица квадратичной формы диагональна, т.е.
.
Говорят, что квадратичная форма приводится к каноническому виду, если для нее существует канонический базис.
Теорема. Для любой квадратичной формы существует канонический базис.
Доказательство проведем методом Лагранжа. Пусть
-
квадратичная форма. Пусть не все коэффициенты равны нулю. Без ограничения общности считаем, что
. Соберем все слагаемые, содержащие
:
.
Выделим полный квадрат:
Теперь форму можно представить в виде
,
где .
Переход к новому базису, соответствующий замене координат
осуществляется при помощи невырожденной матрицы перехода.
Далее продолжаем действовать аналогично: выбираем координату, коэффициент при квадрате которой отличен от нуля, собираем все слагаемые, содержащие эту координату, выделяем полный квадрат и т.д. За конечное число шагов мы получим канонический вид квадратичной формы.
Проблемы могут возникнуть, если на каком-то этапе не найдется координаты, коэффициент при квадрате которой отличен от нуля. Возможны два варианта. Если ненулевых коэффициентов нет совсем, то процесс закончен – форма приобрела канонический вид (с для некоторых
). Если же найдется коэффициент
для некоторых
, то сделаем такое (невырожденное) преобразование:
Появятся (несократимые) слагаемые .
Теорема доказана.
15.6. Закон инерции. Итак, для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет вид:
.
Если потребовать, чтобы коэффициенты были положительными, то канонический вид формы будет таким:
.
Число - количество положительных коэффициентов - называется положительным индексом формы, число
- количество отрицательных коэффициентов - называется отрицательным индексом формы, число
- рангом квадратичной формы.
Заметим, что выбор канонического базиса неоднозначен. Поэтому возникает естественный вопрос: зависит ли положительный или отрицательный индекс формы от выбора базиса? Ответ дает следующая теорема.
Теорема (закон инерции). Положительный и отрицательный индексы формы не зависят от выбора базиса.
Доказательство. Пусть в каноническом базисе квадратичная форма имеет вид
, причем
. Пусть в другом каноническом базисе
квадратичная форма имеет другой вид
,
.
Докажем независимость от базиса положительного индекса формы. Предположим, что , например,
. Рассмотрим множество векторов
. Этих векторов в сумме больше, чем
, поэтому они линейно зависимы. Существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю:
,
.
Заметим, что вектор не может быть нулевым, поскольку векторы
линейно независимы и векторы
линейно независимы. Однако,
.
С другой стороны,
.
Мы получили противоречие. Значит, .
Аналогично можно получить, что отрицательный индекс не зависит от выбора базиса. Теорема доказана.
Если в каноническом виде квадратичной формы все коэффициенты положительны, то для любого ненулевого вектора . Такая форма называется положительно определенной. Отрицательно определенной называют форму, значения которой на каждом ненулевом векторе пространства отрицательны. Возникает вопрос, как определить знакоопределенность формы, не приводя ее к каноническому базису.
15.7. Критерий Сильвестра. Зафиксируем в пространстве некоторый базис . В этом базисе квадратичная форма имеет матрицу
.
Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы больше нуля.
Мы опустим строгое доказательство, приведем лишь некоторые рассуждения.
Если форма положительно определена, то существует базис, в котором ее матрица является единичной. Пусть - матрица перехода к этому базису. Тогда
,
.
Отсюда следует, что определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы больше нуля. Но положительности определителя матрицы недостаточно для ее положительной определенности. Так, например, определитель матрицы
больше нуля, однако, квадратичная форма с такой матрицей не является положительно определенной: на векторе с координатами
ее значение равно -1. Построим цепочку подпространств
, где
- это множество векторов, являющихся линейными комбинациями базисных векторов
. Ограничив квадратичную форму на подпространство
, мы получим квадратичную форму на нем с матрицей, совпадающей с матрицей главного минора. Те же соображения, что и для всего пространства, приводят к утверждению о положительности этого минора.