2014-02-02
4370
Пусть функция 
определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области 
. Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего М и наименьшего m значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области функции состоит в следующем:
1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них;
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области;
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями: 
(рис.2).
Рис. 2
Решение: Здесь 
, 
.
1. Находим все критические точки:
Решением системы являются точки (0,0), (-1,0), (0,-1), 
.
Ни одна из найденных точек не принадлежит области .
2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 2).
На участке АВ: 
где 
, 
, 
у= –1.
Значения функции 
На участке ВC: 
где 
, 
Значения функции 
На участке CE: 
где 
, 
, 
Значения функции 
На участке АE: 
где 
, 
Значения функции 
3. Сравнивая полученные результаты, имеем: 
а 
В некоторых вопросах математики и её приложений часто приходится решать задачи на отыскание локальных экстремумов функции не на всем множестве её задания, а только на некотором его подмножестве, в частности, на некоторой линии L, целиком принадлежащей данному множеству. Такие экстремумы называются условными (в отличие от ранее рассмотренных, называемых безусловными), так как в таких случаях налагаются дополнительные условия на характер изменения переменных.
