2014-02-02
941
Частные производные 
и 
называют частными производными первого порядка.. Их можно рассматривать как функции
. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они обозначаютсяс следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д порядков.
Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например, 
Пример 2.1. Найти частные производные второго порядка функции 
Решение. Так как 
и 
, то
Оказалось, что 
. Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую мы приведем без доказательства.
Теорема (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядков дифференцирования, равны между собой.
Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (5)) называют также дифференциалом первого порядка.
|
|
|
Пусть функция 
имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле 
Найдем его:
= 
Отсюда: 
Символически это записывается так:
