Необходимые и достаточные условия экстремумов

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю: и .

Зафиксируем одной из переменных. Положим, например, у = у₀. Тогда получим функцию одной переменной, которая имеет экстремум при . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной, , .

Аналогично можно показать, что .

Геометрически равенства и означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию , параллельна плоскости 0ху, т. к уравнение касательной плоскости есть z = z₀.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция  имеет максимум в точке 0(0,0), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции равны нулю, т. е. , , называется стационарной точкой функции.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию . Для неё точка 0(0,0) является критической (в ней и обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки 0(0,0) найдутся точки, для которых (точки I и III четвертей) и (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке  и некоторой её окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке  значения , , . Обозначим

Тогда:

1. если , то функция  в точке  имеет экстремум: максимум, если A < 0, минимум, если A > 0;

2. если , то функция  в точке  экстремума не имеет.

В случае  экстремум в точке  может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования. Примем без доказательства.

Пример 1. Найти экстремум функции

Решение: Здесь  Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки М₁(6;3) и М₂(0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции:

В точке М₁(6;3) имеем: А = –18, В = 36, С = – 108, отсюда

АС – В² = -18(-108)-36² = 648,

т. е. .

В точке М₂(0;0) имеем: А = 0, В = 0, С = 0, и, значит, . Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке M₂ равно нулю: . Можно заметить, что ;

Значит, в окрестности точки М₂(0,0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ функция экстремума не имеет.