2014-02-02
1783
Функция 
называется неявной, если она задается уравнением
, (11)
неразрешенным относительно z. Найдем частные производные 
неявной функции z, заданной уравнением (11). Для этого, подставив в уравнением вместо z функцию 
получим тождество 
. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:
откуда
(12)
Замечания.
а) Уравнение вида (11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение 
определяет функции 
и 
, определенные в круге 
, и 
определенную в полукруге при 
и т. д., а уравнение 
не определяет никакой функции.
Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных:
если функция 
и её производные 
и 
, 
определены и непрерывны в некоторой окрестности точки 
, причем 
, а 
, то существует окрестность точки М0, в которой уравнение (11) определяет единственную функцию , непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки 
и такую, что 
.
б) Неявная функция 
одной переменной задается уравнением 
. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле
.
Пример 4.1. Найти частные производные функции z, заданной уравнением 
Решение. Здесь 
, 
По формулам (12) имеем: 
Пример 4.2. Найти 
если неявная функция задана уравнением 
Решение. Здесь 
Следовательно, 
Если поверхность S задана уравнением , то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции
(см. формулы (12)), примут соответственно вид
и
