Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Здесь мы будем решать обратную задачу, а именно: известна производная от функции . Требуется найти саму функцию . С точки зрения механической это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон е. движения.
Определение 1. Функция называется первообразной для функции на интервале . Если для любого х из этого интервала выполняется равенство
. (1)
Пример 1. есть первообразная для функции на интервале , так как
Пример 2. является первообразной для функции на интервале , поскольку для любого х из этого интервала.
Задача отыскания по данной функции f(x) её первообразной решается однозначно. Имеет место следующая
Теорема 1. Если – первообразная для функции на интервале , то , где С – произвольная постоянная, также будет первообразной для .
Теорема 2. Если и – две первообразные для функции на интервале , то– на , где С – некоторая постоянная.
|
|
Доказательство: По условию . Составим функцию Очевидно, что для Отсюда, по следствию из теоремы Лагранжа, заключаем, что т. е. что и требовалось доказать.
Определение 2. Если функция – первообразная для функции на интервале , то множество функций где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом
(2)
При этом знак называется знаком неопределенного интеграла; функция – подынтегральной функцией; – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования. Символ обозначает, таким образом, совокупность всех первообразных для функции но иногда мы будем понимать его как любой элемент из этой совокупности, т. е. как какую-то из первообразных.
Операцию нахождения неопределенного интеграла будем называть интегрированием функции
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Отметим без доказательства, что имеет место
Теорема 3. Если непрерывна на , то для неё существует первообразная на , а следовательно, и неопределенный интеграл.