2014-02-02
5123
Числовых рядов
Достаточные признаки сходимости знакоположительных
Классификация числовых рядов в зависимости от знаков их членов
Ряд называется знакоопределенным, если все его члены одного знака.
Ряд называется знакоположительным (знакоотрицательным), если все его члены положительные (отрицательные).
Ряд называется знакопеременным, если его члены изменяют знаки каким-либо образом.
Ряд называется знакочередующимся, если знаки его членов чередуются (изменяются периодически).
Теорема 8.2 (Первый признак сравнения рядов).
1. Если члены знакоположительного ряда 
не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда 
, т. е. 
, то он сходится.
2. Если члены знакоположительного ряда не меньше соответствующих членов расходящегося ряда , т. е. 
, то он расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть ряд сходится и его сумма равна 
.
Ряд знакоположительный, поэтому последовательность его n -ых частичных сумм 
монотонно возрастает при увеличении n.
Члены ряда не превосходят соответствующих членов ряда, т. е. . Ввиду этого частичные суммы рядов удовлетворяют неравенству
.
Кроме того, очевидно, что 
. Следовательно, последовательность частичных сумм 
монотонно возрастает и ограничена (
). По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел
. Ряд сходится.
Второе утверждение теоремы докажем от противного. Пусть известно, что ряд расходится и . Предположим, что ряд сходится. Тогда по первому утверждению данной теоремы должен сходиться также ряд . В этом и состоит противоречие.
Пример 8.4. Исследовать сходимость ряда 
.
Для сравнения выберем сходящийся ряд, являющийся бесконечной убывающей геометрической прогрессией 
, которая сходится, так как знаменатель прогрессии 
. Члены исследуемого ряда не превосходят соответствующих членов предложенной геометрической прогрессии 
. В соответствии с пунктом 1 теоремы 8.2 ряд сходится.
Пример 8.5. Исследовать сходимость ряда 
.
Для сравнения выберем расходящийся гармонический ряд 
. Члены исследуемого ряда больше соответствующих членов гармонического ряда 
, поэтому ряд также расходится.
Теорема 8.3 (Второй признак сравнения рядов). Если отличен от нуля конечный предел отношения соответствующих членов двух знакоположительных рядов и , т. е. 
, то данные ряды сходятся или расходятся одновременно.
Д о к а з т е л ь с т в о. По определению предела по Коши на языке e-d существование предела отношения членов рядов означает:
.
Это значит, что для любого n > N (e) справедливы неравенства
.
Сходимость рядов не зависит от того, что будет отброшено конечное число членов (N (e)). Члены рядов можно перенумеровать и считать, что последнее неравенство выполняется, начиная с n =1. т. е.
.
Тогда для частичных сумм рядов можно записать
, где 
, 
.
Далее рассмотрим два случая.
1. Ряд сходится. Тогда предел его частичных сумм существует и является конечной величиной 
. Учитывая это и левую часть последнего неравенства 
, можно записать 
, т. е. последовательность частичных сумм ряда , являющаяся монотонно возрастающей, ограничена. По теореме Вейерштрасса она имеет предел и, следовательно, ряд сходится.
2. Ряд расходится, т. е. 
. Тогда, учитывая правую часть выше полученного неравенства, имеем 
. Отсюда можно сделать вывод, что предел частичных сумм второго ряда также неограничен 
. Следовательно, ряд расходится.
Можно аналогично рассуждать, начиная с предположений о сходимости ряда , показать, что одновременно с ним сходится или расходится ряд .
Пример 8.6. Исследовать сходимость ряда 
.
Сравним исходный ряд с гармоническим рядом . Используем первый замечательный предел, находим
.
Отсюда следует, что исследуемый ряд расходится так же, как и гармонический.
Теорема 8.4. (Третий признак сравнения рядов).
1. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему для ряда не превосходит соответствующего отношения последующего члена ряда к предыдущему для сходящегося ряда , т. е. 
для любого n, то ряд сходится.
2. Если же 
и ряд расходится, то и рядрасходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы для люб о го n имеют место неравенства
.
Перемножим почленно левые и правые части этих неравенств, получим
.
Сократим одинаковые члены в числителях и знаменателях левой и правой частях неравенства, получим
.
Отсюда следует, если ряд сходится, то по теореме 8.2 сравнения рядов также сходится ряд , так как его члены не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда 
. На основании той же теоремы, если ряд расходится, то и ряд расходится.
