Необходимый признак сходимости числового ряда

Теорема 8.1. Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании его номера стремится к нулю, т. е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим общий член как разность частичных сумм и найдем предел

.

Следствие. Если предел общего члена ряда при неограниченном возрастании его номера отличен от нуля, т. е. , то ряд расходится.

Пример 8.2. Используя следствие из необходимого признака сходимости показать, что ряд расходится.

Находим .

Следовательно, ряд расходится.

Данный необходимый признак сходимости числовых рядов не позволяет установить сходимость ряда. Он позволяет только установить, что ряд расходится, и только для тех рядов, которые расходятся достаточно быстро.

Пример 8.3. Рассмотрим ряд . Данный ряд часто используется при исследовании сходимости числовых рядов и имеет специальное название «гармонический». Для данного ряда выполняется необходимый признак, так как . Однако данный ряд расходится. Покажем это.

Так как ряд имеет бесконечное число членов, то из его членов можно сформировать бесконечное число групп (сумм), сумма каждой из которых больше 1/2. Группы членов ряда заключены в скобки. В первую группу входит 2 члена, во вторую , в третью и т. д.

В каждой группе заменим все слагаемые последними, которые является наименьшими в группах, получим неравенство

Так как сумма дробей в каждой скобке равняется ½, имеем

при , т. е. ряд расходится.

Необходимо также отметить, что если отбросить любое конечное (большое) число членов этого ряда, сумма его останется бесконечно большой.