Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов

Теорема 8. 5. Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при неограниченном возрастании их номеров, т. е. существует предел , то:

1) если r < 1, то ряд сходится; 2) если r > 1, то ряд расходится;

3) если r = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).

Д о к а з а т е л ь с т в о.1. Пусть . Если r < 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству r < q < 1. В этом случае по определению предела существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение меньше этого числа q, т.е. . Данное неравенство представим в следующем виде . Отношение является отношением последующего члена ряда к предыдущему для бесконечной убывающей геометрической прогрессии , которая сходится, так как знаменатель прогрессии меньше единицы (q < 1). В соответствии с теоремой 8.4 (третий признак сравнения рядов) ряд сходится.

2. Пусть . Тогда существует такое число q, которое больше единицы, но меньше r, т. е. . В этом случае существует такое число N, что если номер члена ряда n > N, то отношение больше q, т. е. . Тогда по теореме 8.4 ряд расходится.

Данный признак Даламбера является наиболее простым и часто применяемым. Однако он дает ответ на вопрос о сходимости ряда только в тех случаях, когда ряд достаточно быстро сходится или расходится.

Пример 8.7. Исследовать сходимость ряда .