double arrow

Числового ряда


Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости

Теорема 8.8.Числовой ряд сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд сходится. Тогда по свойству 1 сходящихся рядов также сходится ряд .

Так как , то по первому признаку сравнения рядов (теорема 8.2) также сходится ряд . На основании свойства 2 сходящихся рядов сходится разность двух рядов

, т. е. исходный ряд.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если он сходится и сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 8.19. Исследовать сходимость ряда .

Так как и ряд сходится как обобщенно гармонический ряд при , то по теореме 8.2 сравнения рядов сходится ряд , а по теореме об абсолютной сходимости сходится также ряд . Следовательно, исходный ряд сходится; причем абсолютно.

Пример 8.20. Исследовать на абсолютную сходимость ряд .

Ранее было показано, что данный знакочередующийся ряд сходится (пример 8.15). Ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим, который, как известно, расходится. Это означает, что исходный ряд сходится условно.










Сейчас читают про: