2014-02-02
5522
Равномерная сходимость функциональных рядов.
Функциональный ряд 
называется равномерно сходящимся к сумме 
в области G, если при сколь угодно малом значении 
существует такое число 
, что если 
, то для любого х из области сходимости ряда G (
)
.
Теорема 9.1. (Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда).
Если члены функционального ряда на отрезке 
не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов знакоположительного сходящегося числового ряда 
, т. е. 
, то ряд сходится абсолютно и равномерно при 
.
Равномерно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств.
Свойство 1. Если члены ряда определены и непрерывны на отрезке и ряд сходится равномерно к сумме, то эта сумма является непрерывной функцией на этом отрезке.
Свойство 2. Если члены ряда являются непрерывными функциями на отрезке 
и ряд сходится равномерно к сумме, то его можно почленно интегрировать; причем ряд составленный из интегралов его членов равномерно сходится к интегралу суммы ряда, т. е.
|
|
|
.
Свойство 3. Если члены ряда являются непрерывными функциями на интервале 
, имеют непрерывные производные 
на этом интервале и ряд сходится равномерно к сумме, то его можно почленно дифференцировать; причем ряд составленный из производных его членов равномерно сходится к производной суммы ряда, т. е.
.
