double arrow

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Теорема 8.7.Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю , то ряд сходится; причем сумма ряда по абсолютной велич


Теорема 8.7.Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю , то ряд сходится; причем сумма ряда по абсолютной величине не превосходит первого члена ряда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению знакочередующегося ряда

предполагается, что члены ряда положительные .

Рассмотрим две частичные суммы ряда: с четным числом членов ряда и с нечетным числом членов .

В сумме с четным числом членов сначала сгруппируем члены попарно следующим образом

.

Так как члены ряда монотонно убывают (), то разность в каждой скобке суммы больше нуля и эта сумма монотонно возрастает с увеличением числа членов 2n.

Теперь сгруппируем члены этой суммы следующим образом

.

Так как в этой сумме также разность в каждой скобке больше нуля, то сумма монотонно убывает с увеличением числа членов 2n и не превосходит первого члена ряда .

Следовательно, последовательность частичных сумм ряда с четным числом членов монотонно возрастает и ограничена. Поэтому по теореме Вейерштрасса она имеет некоторый предел .

Найдем также предел частичных сумм ряда с нечетным числом членов.

.

При нечетном числе членов ряда сумма также не превосходит первого члена ряда .




.

Таким образом, предел частичных сумм знакочередующегося ряда существует, т. е. ряд всегда сходится, если его члены монотонно убывают и стремятся к нулю.

Частичные суммы знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда

. Члены ряда стремятся к нулю , поэтому сумма ряда не может превосходить первого члена ряда .

Пример 8.17. Исследовать сходимость ряда .

Члены ряда монотонно убывают и стремятся к нулю . Следовательно, ряд сходится.

Пример 8.18. Исследовать сходимость ряда .

Предел членов ряда при неограниченном возрастании их номеров отличен от нуля . По следствию необходимого признака сходимости числовых рядов рассматриваемый ряд расходится.







Сейчас читают про: