2014-02-02
2247
Теорема 8.7. Если члены знакочередующегося ряда 
монотонно убывают 
и стремятся к нулю 
, то ряд сходится; причем сумма ряда по абсолютной величине не превосходит первого члена ряда 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению знакочередующегося ряда
предполагается, что члены ряда положительные 
.
Рассмотрим две частичные суммы ряда: с четным числом членов ряда 
и с нечетным числом членов 
.
В сумме с четным числом членов сначала сгруппируем члены попарно следующим образом
.
Так как члены ряда монотонно убывают (
), то разность в каждой скобке суммы больше нуля и эта сумма монотонно возрастает с увеличением числа членов 2 n.
Теперь сгруппируем члены этой суммы следующим образом
.
Так как в этой сумме также разность в каждой скобке больше нуля, то сумма монотонно убывает с увеличением числа членов 2 n и не превосходит первого члена ряда 
.
Следовательно, последовательность частичных сумм ряда с четным числом членов монотонно возрастает и ограничена. Поэтому по теореме Вейерштрасса она имеет некоторый предел 
.
Найдем также предел частичных сумм ряда с нечетным числом членов.
.
При нечетном числе членов ряда сумма также не превосходит первого члена ряда .
.
Таким образом, предел частичных сумм знакочередующегося ряда существует, т. е. ряд всегда сходится, если его члены монотонно убывают и стремятся к нулю.
Частичные суммы знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда
. Члены ряда стремятся к нулю , поэтому сумма ряда не может превосходить первого члена ряда .
Пример 8.17. Исследовать сходимость ряда 
.
Члены ряда монотонно убывают 
и стремятся к нулю 
. Следовательно, ряд сходится.
Пример 8.18. Исследовать сходимость ряда 
.
Предел членов ряда при неограниченном возрастании их номеров отличен от нуля 
. По следствию необходимого признака сходимости числовых рядов рассматриваемый ряд расходится.
