Простейшие электрические фильтры

Электрические фильтры - это устройства, которые пропускают на выход сигналы одних частот и не пропускают сигналы других частот. По виду АЧХ фильтры разделяются на фильтры нижних частот (НЧ), верхних частот (ВЧ), полосовые фильтры (ПЧ) и др.

Фильтры нижних частот (НЧ).

Фильтр нижних частот без изменения передает сигнал нижних частот, включая и нулевую частоту (постоянный сигнал), а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов. На рис.2.3, а изображена схема простого фильтра НЧ. Сопротивление емкости С зависит от частоты входного сигнала и равно х_С = 1 / ωC. Емкость С вместе с резистором R образуют делитель напряжения. Для частоты ω = 0 сопротивление емкости равно бесконечности. И весь сигнал с входа схемы поступает на выход. С увеличением частоты сопротивление емкости уменьшается, и все большая его часть будет замыкаться на землю. И в пределе, когда ω = ∞, сопротивление емкости будет равно 0, напряжение на выходе также будет равно 0. Таким образом, схема обладает свойствами фильтра НЧ.

Для расчета частотной характеристики схемы воспользуемся методом комплексных амплитуд. По схеме рис.2.3,б, используя формулу для делителя напряжения, найдем выходной сигнал

.

Отсюда найдем комплексный коэффициент передачи

,

где Т = RC – постоянная времени RC – цепочки.

АЧХ представляет собой модуль комплексного коэффициента передачи ,

а ФЧХ аргумент комплексного коэффициента передачи .

На рис.2.4 показаны частотные характеристики ФНЧ для R = 1 кОм, и С = 1 мкФ.

На АЧХ фильтра можно выделить три области частот: полосу пропускания, переходную область, и полосу подавления сигнала. В полосе пропускания допускается снижение коэффициента передачи в  раза. На АЧХ рис.2.4 такое уменьшение коэффициента передачи происходит на частое 158,489 ≈ 159 Гц. Частота, на которой коэффициент передачи уменьшается в  раз, называется частотой среза. Частота среза разделяет область пропускания фильтра от переходной области. Полоса пропускания фильтра НЧ лежит от 0 Гц до частоты среза f_c. Частота среза RC –фильтра НЧ равна f_c. = 1/ 2πRC или круговая частота среза ω_с = 1/RC = 1 / T. В этом легко убедиться, если в формулу АЧХ фильтра вместо ω подставить ω_с = 1/RC, то получим . Это означает, что на частоте ω_с = 1/RC, коэффициент передачи уменьшился в  раз.

Частота, которая разделяет переходную область фильтра от полосы подавления сигнала, не нормируется. Она определяется в зависимости от требований, предъявляемых к АЧХ фильтра в конкретном применении. Для сравнения различных фильтров эта частота иногда определяется на уровне 0,01 от коэффициента передачи на нулевой частоте.

Обычно АЧХ необходимо анализировать в широком диапазоне частот. Например, для операционного усилителя широкого применения, от единиц Гц до десятков МГц. В этом случае удобно ось частот представлять в логарифмическом масштабе lg f или lgω, как показано на графике рис.2. 4. Коэффициент передачи при этом измеряется в обычном линейном масштабе. Однако, если коэффициент передачи (усиления) изменяется в очень широких пределах, как например, в операционном усилителе, то его удобно выражать в логарифмическом масштабе:

L(ω) = 20lg A.

Единицы измерения – децибелы (дБ), десятая часть бела. Зависимость коэффициента усиления от частоты входного сигнала в логарифмическом масштабе называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).

Что собой представляет единица измерения бел, и почему коэффициент перед логарифмом равен 20, а не 10 как следовало бы ожидать. Единица измерения 1 Бел соответствует отношению мощностей в 10 раз:

1 Б = P₂ / P₁ = 10.

Так как 1 Б – это очень большая величина, то на практике используют более мелкие величины децибелы (в одном беле содержится 10 дБ). Поэтому в коэффициенте усиления по мощности коэффициент пропорциональности равен 10:

L_p = 10 lg P₂ / P₁.

Но у нас коэффициент усиления, это отношение амплитуд токов или напряжений. А для токов и напряжений мощность пропорциональна квадрату токов или напряжений

P = UI = U²/R = I²R.

При отношении амплитуд в 10 раз мощность увеличивается в 100 раз, т.е. на 2 Бела или на 20 децибел:

U₂/U₁ = 10, P₂/P₁ = (U₂/U₁)² = (10)² = 100.

Поэтому в формуле для логарифмического коэффициента усиления появился множитель 20, а не 10.

Логарифмические единицы удобны еще тем, что если известны коэффициенты усиления отдельных каскадов или узлов усилителя и общий коэффициент усиления равен произведению этих коэффициентов, то в логарифмическом масштабе коэффициент усиления находят как алгебраическую сумму логарифмических коэффициентов усиления отдельных каскадов.

На рис.2.5 представлена ЛАЧХ RC фильтра НЧ.

Частота среза фильтра определяется на уровне -3 дБ от максимального значения коэффициента усиления в полосе пропускания. Это видно из показаний слайдера правого курсора. Величина – 3 дБ в логарифмическом масштабе соответствует коэффициенту усиления в линейном масштабе, то есть L = 20lg 0,707 = -3 дБ. Из ЛАЧХ хорошо видно как подавляется сигнал на высоких частотах. Так на частоте 10 кГц логарифмический коэффициент усиления почти равен – 40 дБ, что соответствует значению 0,01 в линейном масштабе. Попробуйте определить коэффициент усиления на этой частоте по АЧХ на рис.2.4.

Фазочастотные характеристики в обоих случаях строятся в линейном масштабе. Из фазочастотных характеристик видно, что наибольшее изменение фазы происходит на частоте среза фильтра.

Фильтры верхних частот (ВЧ). Фильтр верхних частот без изменения передает сигнал верхних частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов. Схема простого RC фильтра верхних частот представлена на рис.2.6. Аналогично, как и для фильтра нижних частот найдем выходной сигнал

.

Отсюда найдем комплексный коэффициент передачи

,

где Т = RC – постоянная времени RC – цепочки.

АЧХ представляет собой модуль комплексного коэффициента передачи ,

а ФЧХ аргумент комплексного коэффициента передачи .

На рис.2.7. Показаны частотные характеристики фильтра ВЧ (R = 1 кОм, и С = 1 мкФ) в логарифмическом масштабе.

Частота среза фильтра определяется, так же как и для фильтра НЧ и равна с = 1/RC = 1 / T или f_act. = 1/ 2πRC = 1/(6,28?1 кОм?1 мкФ) = 159 Гц. На графике АЧХ частота среза определяется на уровне – 3 дБ от максимального значения коэффициента усиления. Положение левого курсора определяет частоту среза, так как разность между показаниями коэффициента усиления правого и левого курсора равна 3,019 ≈ 3 дБ.

Полосовой фильтр. Соединяя последовательно фильтр верхних и низких частот с перекрывающимися амплитудно-частотными характеристиками можно получить полосовой фильтр. Полосовой фильтр пропускает сигнал в некоторой полосе частот и подавляет сигнал на низких и высоких частотах. На рис 8. показана схема полосового фильтра.

Найдем комплексный коэффициент усиления схемы.

.

Введем обозначение ωRC = Ω. Раскрывая скобки, получим

Комплексный коэффициент усиления равен

.

АЧХ представляет собой модуль комплексного коэффициента передачи ,

ФЧХ определяется из выражения .

Коэффициент максимальный при Ω = 1. Следовательно, резонансная частота f₀ = 1/ 2πRC. Коэффициент усиления на резонансной частоте равен A(f₀) = 1/3, а фазовый сдвиг равен 0.

На рис.9 приведены частотные характеристики полосового фильтра при R=1 кОм и С = 1 мкФ.

Резонансная частота фильтра равна 159,591 Гц. АЧХ полосового фильтра имеет две частоты среза, которые располагаются слева и справа от резонансной частоты f₀, и также определяются на уровне – 3 дБ относительно максимального значения коэффициента усиления.