Функция у = f(х) называется выпуклой вниз (вверх)[1] на промежутке Х если для любых двух значений х1, х2 Î Х из этого промежутка выполняется неравенство .
Графический смысл выпуклости функции проиллюстрирован рисунком 3.7. В самом деле, в левых частях формул, определяющих выпуклость, находится значение функции в середине отрезка [х1, х2]. В правых частях находится ордината середины отрезка, соединяющего точки (х1, f(х1)) и (х2, f(х2)) на графике функции. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком, а если она выпукла вверх, то под графиком функции.
Можно доказать, что функция выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ее первая производная на соответствующем промежутке монотонно возрастает (убывает). Геометрически это означает, что если f `(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к ее графику (см. рисунок 3.8).
Достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.
|
|
Доказательство этой теоремы основано на том, что если вторая производная положительна (отрицательна), то первая возрастает (убывает), что говорит о выпуклости функции вниз (вверх).
Заметим, что необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла на промежутке, то ее вторая производная неположительна (неотрицательна), т.е. может и равняться нулю.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, на которых функция выпукла вниз и вверх.
Из сформулированных выше теорем следует, что точки перегиба — это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают теоремы об условиях перегиба.
Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю.
Достаточное условие перегиба[2]. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то это точка перегиба ее графика.
Геометрическая интерпретация точки перегиба приведена на
рисунке 3.9. В окрестности точки х1 функция выпукла вверх, и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки х2 функция выпукла вниз, и график лежит выше касательной. В точке же перегиба х0 график лежит по разные стороны касательной.
Отметим, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.
Исследование функции на выпуклость и точки перегиба обычно включает следующие этапы:
|
|
1. Найти вторую производную функции f ``(х).
2. Найти точки, в которых вторая производная f ``(х) = 0 или не существует.
3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
4. Найти значения функции в точках перегиба.