Рис. 5.4.
Рис. 5.3.
Рис. 5.2.
Основные статистические характеристики стационарного случайного процесса
На рис. 5.2 представлена реализация стационарного случайного процесса.
Определим основные статистические характеристики стационарного случайного процесса
Среднее значение сигнала на конечном интервале времени определяется как:
(5.1)
Если интервал достаточно бодьшой, то среднее значение определяет математическое ожидание
(5.2)
Если на практике конечная реализация представлена в виде дискретных значений, отделенных друг от друга равными промежутками времени , то среднее значение можно вычислить по формуле:
(5.3)
Стационарный случайный процесс можно рассматривать как сумму постоянной составляющей и переменной составляющей , соответствующей отклонениям случайного сигнала от среднего:
(5.4)
Сигнал называется центрированным случайным сигналом. Очевидно, сто среднее значение центрированного случайного сигнала равно нулю. Так как спектр реального сигнала совпадает со спектром центрированного случайного сигнала , то во многих (но не во всех) задачах расчета автоматических систем можно вместо рассматривать сигнал .
|
|
Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений от математического ожидания :
(5.5)
- это мера разброса мгновенных значений сигнала около математического ожидания. Чем больше пульсация, тем больше
Средним квадратичным отклонением называется выражение вида:
(5.6)
Важным свойством статических характеристик является следующее:
(5.7)
Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками, но неисчерпывающими: по ним нельзя судить о скорости изменения сигнала во времени
На рисунках 5.3, 5.4 представлены стационарные случайные процессы, имеющие равные математические ожидания и дисперсии (). Однако из рисунков видно, что изменяется медленнее, чем . Интенсивность изменения стационарного случайного процесса во времени характеризуется следующими функциями: корреляционной функцией и функцией спектральной плотности.
Корреляционная (автокорреляционная) функция - это математическое ожидание произведения мгновенных значений сигнала, разделенных промежутком времени :
(5.8)
Для центрированного сигнала корреляционная функция определяется по формуле:
(5.9)
где - варьируемый сдвиг по времени:
(5.10)
Фиксированному соответствует определенное числовое значение .
Корреляционная функция характеризует степень корреляции (связи) между предыдущими и последующими значениями сигнала.
Корреляционная функция обладает следующими свойствами:
|
|
1. При увеличении связь (корреляция) ослабевает.
2. Корреляционная функция убывает тем быстрее, чем быстрее изменяется случайный сигнал.
3. Корреляционная функция является четной функцией:
(5.11)
Экспериментально корреляционная функция определяют (вычисляют) по следующей схеме: