Частота собственных колебаний единичной лопатки постоянного профиля

5.3.1.Статичисская частота изгибных колебаний – f_ст.

Это частота колебаний лопатки на неподвижном колесе (или зажатой в тисках). Частота вращающейся лопатки несколько больше, т.к. центробежная сила стремиться вернуть ее в исходное положение и т.о. как бы ужесточает ее. В этом случае частота собственных колебаний называется динамической – f_д.

При выводе дифференциального уравнения изгибных колебаний рабочей лопатки предполагается, что:

а) сила сопротивления колебаниям отсутствует;

б) линейные размеры поперечного сечения лопатки малы по сравнению с ее длинной;

в) колебания происходят в одной из главных плоскостей изгиба.

Тогда можно воспользоваться уравнением упругой линии (для жесткозаделанного стержня)

,

где Е – модуль упругости, J(x) – минимальный момент инерции заданного сечения; М (х) – изгибающий момент в этом сечении.

Дважды дифференцируя это уравнение, получим:

,

,

где Q(x) – величина поперечной силы в том же сечении,

q(x) – интенсивность нагрузки при колебаниях, она переменна по длине рабочей лопатки и определяется

,

где ρ – плотность, F(x) – площадь; τ- время.

Тогда подставив получим

,

а в нашем случае рабочие лопатки постоянного профиля, т.е. J_х=J=пост. и F=пост., тогда поучим

,

поделим обе части на ρF

, где

решение последнего уравнения может быть записано так (Жирицкий Г.С.)

y=Y(Acos λτ+Bsinλτ)

где у – прогиб лопатки на расстоянии х от опоры в момент времени τ

Y – величина, определяющая форму колебаний лопатки и представляющая собой функцию х.

λ – круговая частота колебаний, т.е. частота за время 2π сек.

λ=2πf_ст.,

где f_ст – собственная частота колебаний. А и В – произвольные постоянные, которые определяются для каждого частного случая.

Рис. При колебаниях первого тона.

у

L

X

Опустив дальнейшие преобразования (смотри Жирицкий «Конструкция и расчет на прочность деталей П и ГТ», 1968 г.) отметим что, уравнение имеет бесконечно большое число решений (т.к. бесконечно много гармоник колебаний), но на практике считают опасными первые шесть тонов, для которых запишем:

собственная частота колебаний

.

Корни первых шести тонов:

	1,875	4,694	7,855	10,996	14,137	17,279

Тогда собственная частота колебаний 1-го тона

,

где Е – [H/м²], ρ – [кг/м³], J – [м⁴], F – [м²], - [м].

Отношение последовательных собственных частот изгибных колебаний, или спектр частот, составляет:

f¹= f²= f³… =1: 6,27: 17,6: 34,4: …

Для рабочей лопатки с жестко закрепленным хвостовиком и свободно опертой головкой (при наличии бандажа) корни уравнения первых пяти тонов следующие

	3,927	7,069	10,21	13,45	16,49

Тогда частота свободных колебаний первого тона

,

Как видно она в =4,39 раза больше частоты свободных колебаний лопатки без бандажа.

Если рабочая лопатка жестко закреплена с обоих концов (бандаж цельнофрезерованный), то

	4,73	7,853	10,996	14,14	17,28

И частота колебаний первого тона

,

она в =6,41 раза больше частоты свободных колебаний лопатки без бандажа.