Временные характеристики

Динамические характеристики элементов

Поскольку системы управления и регулирования состоят из отдельных элементов (звеньев), то поведение системы в целом определяется статическими и динамическими характеристиками элементов.

Статические характеристики определяют связь между входными и выходными величинами в установившемся состоянии, а динамические – определяют свойства элементов и систем в переходных процессах. Динамические характеристики подразделяются на временные и частотные.

Наглядное представление о передаточных свойствах элемента дает функция х _вых(t), являющаяся решением дифференциального уравнения элемента. Но одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, конкретный вид которых зависит от начальных условий и от характера функции х _вх(t), т.е. от начального состояния элемента и вида внешнего воздействия. Поэтому принято динамические свойства элементов и систем характеризовать решением, соответствующим нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий. Зависимость выходной величины элемента (или системы) от времени при переходе из одного установившегося состояния в другое в результате поступления на вход типового воздействия называется временной динамической характеристикой.

При исследовании динамических свойств системы или элемента наиболее широкое применение находят типовые воздействия в виде единичной ступенчатой или единичной импульсной функции, которые отражают существенные черты часто встречающихся реальных воздействий.

Единичная ступенчатая функция. Математически единичную ступенчатую функцию (рис. 2.13) можно представить в виде

Рис. 2.13. Единичное ступенчатое воздействие: 1 – переходная функция; 2 – кривая разгона

Реакция элемента (изменение во времени безразмерного значения ) на единичное ступенчатое возмущениепри нулевых начальных условиях называется переходной функцией h (t).

Если ступенчатое воздействие отличается от единичного и при t ³ 0 равно постоянной величине А, то реакция системы на такое воздействие называется кривой разгона (разгонной характеристикой). Этот случай воздействия часто используется при экспериментальных исследованиях динамических свойств действующих объектов. Ступенчатое возмущение является наиболее распространенным видом входного воздействия в автоматических системах. К таким возмущениям относятся мгновенное изменение задания регулятору, подключение питающего напряжения к элементу, мгновенное возрастание нагрузки на объект и т. д.

На практике, при экспериментальном исследовании свойств элементов системы автоматики, в том числе и объектов регулирования, входные воздействия х _вх(t) и выходные величины х _вых(t) являются размерными и могут изменяться от заданных значений х _вх,0 и х _вых,0 до максимально возможных х _вх,max и х _вых,max. На вход элемента подается воздействие, составляющее долю D х _вх,max (D х _вх (t)= А ×D х _вх,max; 0£ А £1), тогда на выходе записывается разгонная характеристика (кривая разгона) элемента, также составляющая в каждый момент времени долю от х _вых,max (D х _вых (t)= А ×D х _вых,max). Разгонная характеристика одного из элементов представлена на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Разгонная характеристика элемента: D х вх,max= х вх,max – х вх,0; D х вых,max= х вых,max – х вых,0

Единичная импульсная функция. Под единичной импульсной функцией понимается импульс, площадь которого равна единице при длительности t_и (рис 2.15).

Рис. 2.15. Импульсная переходная функция: tи – длительность импульса; w(t) – импульсная переходная функция

Математически единичную импульсную функцию можно записать в виде

При t_и=0 единичная импульсная функция превращается в дельта-функцию d(t), значение которой равно нулю при всех значениях t, кроме t =0, когда она равна бесконечности. При этом ее площадь принимается равной единице:

. (2.46)

Реакция элемента или системы на входное воздействие в виде d(t) при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной функцией w(t) – функцией веса.

Переходная функция h (t) и импульсная переходная w (t) функции адекватно описывают динамические свойства линейной системы и могут быть преобразованы одна в другую, так как единичная ступенчатая функция 1(t) и дельта-функция связаны между собой.

Дифференцируя (2.46), получим

. (2.47)

Из (2.47) следует, что d(t) является реакцией системы на производную от единичной ступенчатой функции, следовательно, или

. (2.48)

Переходная и импульсная переходная функции относятся к временным динамическим характеристикам, которые определяют поведение системы во временной области.

На практике нет возможности получить импульсную переходную функцию, так как приходится иметь дело с размерными входными х _вх(t) воздействиями и выходными х _вых(t) величинами. В этом случае на вход элемента подают однократный импульс (0£ А £1) длительностью t_и и записывают на выходе элемента импульсную характеристику х_вых(t) – рис. 2.16.

Рис. 2.16. Импульсная характеристика элемента

На практике наиболее широкое применение находит временная характеристика в виде разгонной характеристики, так как ее достаточно просто получить экспериментально. В том случае, если на действующих объектах нет возможности получить разгонную характеристику, снимают импульсную характеристику.