2014-02-02
1739
Они описывают вынужденные колебания на выходе системы, вызванные гармоническими воздействиями на ее входе. В реальных системах часто входной сигнал изменяется по гармоническому закону при заданной амплитуде и частоте.
При исследовании САР ставится задача нахождения параметров колебаний системы на выходе по известным параметрам колебаний на входе. Решение этой задачи с помощью временных характеристик представляет определенные трудности. Рассматриваемый ниже частотный метод позволяет получить реакцию элемента или системы на любой периодический сигнал.
Если на вход элемента (или системы) подавать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянной амплитудой и угловой частотой w 
, то после затухания переходных процессов (в установившемся режиме) на выходе также возникают синусоидальные колебания 
с той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе на время D t относительно входных колебаний (рис. 2.17).
| Рис. 2.17. Гармонические колебания: Входной хвх и выходной хвых величин. Т – период колебаний. |
|
|
|
При изменении частоты w от 0 до ¥ с одинаковой амплитудой колебаний А вх на выходе с течением времени будут устанавливаться колебания с другой амплитудой А вых(w) и другим фазовым сдвигом (углом j(w)). Угол j(w) можно рассчитать по временному сдвигу D t:
.
Для исследования и расчетов систем автоматического регулирования применяют преобразование Фурье, которое состоит в переходе от оригинала функции х (t) к ее изображению по Фурье:
. (2.49)
Это выражение называется прямым односторонним преобразованием Фурье, а комплексная функция Х (j w) – изображением по Фурье или спектром функции х (t).
Из сравнения выражений (2.26) и (2.49) следует, что односторонние преобразования Лапласа и Фурье тесно связаны и могут быть получены одно из другого. Для перехода от изображения функции х (t) по Лапласу к ее изображению по Фурье необходимо произвести замену символа р независимого комплексного переменного символом j w мнимого числа.
Покажем это на следующем примере.
Используя символическую запись синусоидальных колебаний в показательной форме, входные и выходные гармонические колебания можно представить в виде
; 
,
где 
– геометрически изображается вращающимся единичным вектором в комплексной плоскости. Пусть уравнение элемента имеет вид
, (2.50)
а его передаточная функция
. (2.51)
Тогда 
, и после подстановки в уравнение элемента (2.50) х вх, х вых и 
получим
,
или
,
. (2.52)
Из сравнения (2.51) и (2.52) видно, что
, (2.53)
где W (j w) – частотная передаточная функция элемента.
Из (2.52) следует, что
(2.54)
есть модуль вектора частотной передаточной функции. Его называют амплитудной частотной характеристикой элемента (АЧХ); а 
– аргумент вектора W (j w), который представляет собой фазовую частотную характеристику (ФЧХ). Выражение (2.53) называют также амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).
|
|
|
Графически амплитудно-фазовая частотная характеристика (частотная передаточная функция) изображается в комплексной плоскости в полярных координатах (А, j) как годограф функции W (j w). Эту функцию можно строить и в прямоугольных координатах на комплексной плоскости с выделением мнимой Jm (w) и вещественной Re (w) частей (рис. 2.18).
| Рис. 2.18. Амплитудно-фазовая частотная характеристика элемента |
Из прямоугольного треугольника на рис. 2.18 следует переход от алгебраической формы записи амплитудно-фазовой характеристики W (j w) к показательной:
; 
. (2.55)
Амплитудно-фазовая характеристика системы W (j w) не зависит от времени. В этом ее принципиальное отличие от временной характеристики. Если временная характеристика определяет поведение системы в переходном процессе, то АФХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах.
Однако, несмотря на то, что АФХ отображает только установившиеся процессы в системе, она в полной мере определяет также ее динамические свойства подобно временной характеристике или дифференциальным уравнениям.
