Доказательство. Построение множества целых чисел

Построение множества целых чисел.

Лекции 3-4.

Рассмотрим множество (декартов квадрат множества натуральных чисел).

На множестве введем отношение ~ по следующему правилу:

.

Теорема 1. Отношение ~ на множестве есть отношение эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).

Отношение ~ рефлексивно (?)

.

Отношение ~ симметрично (?)

.

Отношение ~ транзитивно (?)

.

что и требовалось доказать.

Поскольку отношение ~ является отношением эквивалентности, имеют место классы эквивалентности:

.

Определение. Целыми числами назовем элементы фактормножества .