Алгебраическая форма кватернионов

Определение. Пусть , где , . Тогда

- алгебраическая форма кватерниона, где и , , . Таким образом, каждому кватерниону можно поставить в соответствие упорядоченный набор их 4-х элементов:

Нетрудно заметить следующее:

.

Более того, если рассматривать тело как векторное пространство над полем , то каждый кватернион есть вектор с координатами . Тогда следующие кватернионы образуют базис:

1=(1,0,0,0) - действительная единица

i =(0,1,0,0)

j =(0,0,1,0)

k =(0,0,1,0).

Определение. Кватернионы i, j, k называются мнимыми кватернионами тела кватернионов.

Замечание. Тело кватернионов не является полем, поскольку не коммутативно, что и подтверждает следующая таблица умножения базисных кватернионов:

Для того, чтобы перемножить два кватерниона в алгебраической форме, необходимо воспользоваться правилом умножения сумм, учитывая некоммутативность , используя таблицу умножения базисных кватернионов, а затем привести подобные.

Определение. Сопряженным к кватерниону называется кватернион .

Следствие. .

Определение. Нормой кватерниона называется .

Следствие 1. , где , .

Следствие 2. Если , то .