2014-02-02
464
Алгебра Кэли
(Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
, где 
.
На множестве 
зададим операции по следующим правилам:
для любых 
и 
.
Теорема. - восьмимерное линейное пространство над полем 
, базисом которого является следующая система: 
.
Замечание. 
.
Покажем, что - линейное пространство над полем .
Сложение в коммутативно и ассоциативно в силу коммутативности и ассоциативности сложения в 
.
Нейтральный элемент по сложению в имеет вид: 
.
Противоположным к 
является элемент 
.
Таким образом - аддитивная Абелева группа, в которой для 
и 
однозначно определено умножение на скаляр 
, удовлетворяющее следующим аксиомам:
для любых 
и 
.
Согласно определению, - линейное пространство над полем .
По теореме о последовательном расширении полей, имеем
.
что и требовалось доказать.
Определим в умножение по следующему правилу:
, где 
- кватернионы, сопряженные к 
, 
.
Теорема. - восьмерная алгебра с делением над полем .
