Дуальные и двойные числа

(ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).

Опишем все ассоциативные алгебры над полем размерности 2.

Нетрудно устанавливается, что множества и образуют ассоциативные алгебры, которые договоримся называть алгебрам двойных чисел и дуальных чисел соответственно.

Теорема. Любая коммутативная ассоциативная алгебра с единицей над полем действительных чисел размерности 2 изоморфна одной из из алгебр , , .

Доказательство

Пусть , где - коммутативная ассоциативная алгебра с единицей . Рассмотрим . Нетрудно устанавливается, что изоморфно полю . Тогда, с точностью до изоморфизма, можно утверждать, что ( подполе поля А). Последнее означает, что в найдется элемент такой, что система образует базис алгебры над полем .

для некоторых .

. Возможны случаи:

1. . Существует положительное действительное число такое, что

Тогда - система порождающих в . Покажем, что - базис в . Предположим, что . Таким образом .

2. . Аналогично устанавливается, что - базис в . Следовательно, .

3. . Существует положительное действительное число такое, что

Тогда - система порождающих в . Аналогично устанавливается, что - базис в . Следовательно, .

Замечание. Наличие единицы позволяет включить в , а ассоциативность и коммутативность позволяют выполнять действия, указанные выше.

что и требовалось доказать.

Теорема. Алгебры , не являются полями.

Доказательство

Предположим, что элемент обратим. Тогда существует элемент такой, что . Последнее противоречит линейной независимости элементов . Следовательно, предположение об обратимости элемента оказывается ложным, а, значит, не является полем.