Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А, размером m×n:

Выделим в ней К строк и К столбцов, где К ≤ min(n;m). Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель К –ого порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделим этот минор. В данный момент – это минор 2 –го порядка. Заметим, что таких миноров можно составить . С – комбинация, где:

;

Пример:

миноров

Наивысший порядок миноров матрицы, отличительных от 0 называется рангом матрицы.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров. Ранг матрицы обозначают r(A), rang(A)

Основные свойства ранга матрицы:

1) при транспонировании матрицы, её ранг не меняется

2) если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то её ранг не изменится

3) ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример:

- ранг этой матрицы равен 3, rangA = 3