2014-02-02
3080
R, L, C – это параметры электрической цепи, причем активное сопротивление R характеризует активный (необратимый) процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность L и емкость C – обратимый процесс преобразования энергии электромагнитного поля.
Под действием напряжения 
источника питания в цепи возникает ток i. Ток создает падения напряжения на элементах цепи: 
- на элементе с активным сопротивлением; 
- на элементе с индуктивностью; 
- на элементе с емкостью. По второму закону Кирхгофа для данной цепи запишем
или 
В результате решения данного уравнения найдем 
.
Найдем частное решение данного уравнения, то есть ток установившегося режима. Так как правая часть этого уравнения – синусоидальная функция, то и частное решение следует искать в виде синусоидальной функции
.
Функция полностью определена, если известны амплитуда тока Im и угол сдвига фаз φ между напряжением и током. Найдем эти величины.
Как было показано ранее, напряжение изображается комплексным числом 
; ток - комплексным числом 
; производная 
- комплексным числом 
; интеграл 
- комплексным числом 
.
Перейдем от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению в комплексной форме
.
После преобразования имеем
а разделив обе части уравнения на 
, получим аналогичное линейное алгебраическое уравнение для комплексных действующих значения:
Коэффициент
является полным сопротивлением цепи в комплексной форме. Вещественная составляющая R полного сопротивления равна активному сопротивлению цепи, а мнимая составляющая X называется её реактивным сопротивлением. Реактивное сопротивление цепи равно разности индуктивного и емкостного сопротивлений:
.
; 
,
откуда комплексное полное сопротивление
,
где модуль полного сопротивления
.
Таким образом, модуль полного сопротивления цепи равен отношению модулей действующих значений напряжения и тока, а аргумент комплексного сопротивления – сдвигу фаз φ между векторами напряжения и тока.
Модуль полного сопротивления цепи
то есть, полное сопротивление цепи равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений.
Можем найти амплитуду тока, определяющую функцию
.
Теперь, если воспользоваться равенством
,
можно определить угол сдвига фаз φ
.
Таким образом, значение угла φ зависит от соотношения между реактивным X и активным R сопротивлениями. Чем больше реактивное сопротивление, тем больше угол φ. Знак угла φ зависит от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями. Если 
, то угол φ положительный и ток можно определить по формуле , откуда видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Если 
, то угол φ отрицательный и ток 
, то есть опережает по фазе напряжение на угол φ.
На рисунке показано, как изменяются напряжение и ток в цепи с последовательно соединенными активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями при условии :
 |
При построении векторной диаграмм в качестве начального удобно выбрать вектор тока, так как при последовательном соединении ток во всех элементах один и тот же. Как было условлено, начальный вектор совмещаем с положительным направлением мнимой оси (здесь и далее оси обозначать не будем).
Падения напряжения в комплексной форме на участке цепи с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями соответственно
; 
; 
.
Вектор 
на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором 
, и на векторной диаграмме его проводим в направлении тока. Падение напряжения 
на участке с индуктивностью опережает ток по фазе на угол π /2, причем поворачивать вектор надо против часовой стрелки по отношению к вектору . Падение напряжения 
на участке с емкостью отстает от тока на угол π /2, причем следует повернуть на угол 90º по направлению вращения часовой стрелки по отношению к вектору .
По второму закону Кирхгофа можно написать уравнение
.
Для нахождения вектора 
полного напряжения цепи к концу вектора пристраиваем вектор путем параллельного переноса, а к концу вектора пристраиваем вектор . Вектор полного напряжения соединяет начало координат с концом вектора (последнего слагаемого вектора).
Поскольку векторная диаграмма построена для случая, когда (следовательно, и 
), ток в цепи отстает по фазе на угол φ от полного напряжения, комплексное значение которого 
.
