План лекции. 1.Какова размерность векторного потенциала?

Лекция №10

Контрольные вопросы

1. Какова размерность векторного потенциала?

2. Каково соотношение между векторным потенциалом и вектором индукции?

3. Что является решением уравнения Пуассона?

4. Каковы граничные условия для уравнения Лапласа?

Индуктивность. Энергия магнитного поля.

1. Выражение магнитного потока через векторный потенциал.

2. Расчёт индуктивности и взаимной индуктивности.

3. Расчёт индуктивности двухпроводной линии.

4. Энергия магнитного поля, силы в магнитном поле.

Краткое содержание лекции

Если магнитный потенциал создаётся вектором намагниченности, то его величина равна:

Закон Био-Савара можно вывести из формулы для векторного потенциала. Если , а , то

Используя теорему Стокса, можно выразить магнитный поток через векторный потенциал:

(1)

Расчёт индуктивности производится в следующей последовательности. Рассчитывается магнитный поток и берётся отношение потокосцепления к току в контуре:

здесь I – ток; w – число витков.

При расчёте взаимной индуктивности находится поток, наведённый соседним контуром в некотором контуре, а затем находятся отношения:

;

а согласно (1)

; ;

То есть расчёт индуктивности и взаимной индуктивности сводится к расчёту потока, сцеплённого с данным контуром.

Векторный потенциал двухпроводной линии в любой точке, отстоящей на от левого провода и от правого провода, выражается формулой:

(2)

Магнитный поток, сцеплённый с каким-либо контуром, согласно (1) равен:

поэтому, пользуясь формулой (2), легко найти поток, проходящий по воздуху между двумя проводами с радиусами на расстоянии между их осями.

Индуктивность будет равной:

Напомним, что ёмкость двухпроводной линии равна:

тогда

,

где c² – квадрат скорости света, как исследовало ожидать, поскольку скорость распространения электромагнитных волн равна .

Индуктивность кабеля.

Согласно закону полного тока:

или

Внутри провода по сечению πr² протекает ток, равный:

Тогда:

По полосе шириной dr проходит поток:

Внутреннее потокосцепление:

Отсюда индуктивность равна:

Если μ = 1000, то Гн.

Энергия магнитного поля

Энергия магнитного поля, занимаемого объём V равна:

(3)

Пользоваться формулой (3) не всегда удобно, так как приходится интегрировать по объёму, который иногда трудно определить. Поэтому, если поле создаётся токами плотностью целесообразно использовать формулу, получаемую следующим путём:

или .

Первый интеграл равен нулю, так как убывает, как , а площадь растёт как R². Поэтому окончательно получаем:

(4)

Интеграл (4) вычислить проще, так как интегрирование производится по объёму, в котором имеется вектор .

Сила в магнитном поле определяется как:

Правило Максвелла.

Во всех случаях, определяя силы, появляющиеся под действием магнитного поля, можно руководствоваться следующим правилом: провода с током и те другие тела, находящиеся в магнитном поле, всегда стремятся к перемещению, при котором увеличивается магнитный поток или полное магнитное потокосцепление.

В намагниченной среде электрический момент единицы объёма равен , поэтому действующая на эту среду объёмная сила:

Когда ,

Применяя известное преобразование векторного анализа

находим, что в безвихревом поле ():

то есть на намагниченное тело действует сила пропорциональная градиенту квадрата напряжённости; ферромагнитный материал втягивается в область магнитного поля.