План лекции. 1. Уравнение Максвелла в интегральной форме

1. Уравнение Максвелла в интегральной форме.

2. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

3. Синусоидальное электромагнитное поле.

4. Уравнение Максвелла в комплексной форме

Краткое содержание лекции

Первое уравнение Максвелла – это известный закон полного тока Ампера, к которому Максвелл добавил ток смещения, вектор плотности которого равен:

поэтому первое уравнение Максвелла имеет вид

Здесь токи проводимости и смещения.

В левой части первого уравнения Максвелла стоит контурный интеграл по замкнутой линии, в правой части стоят интегралы от плотности токов проводимости и смещения, они берутся по любой поверхности, ограниченной контуром.

Если произвести следующие операции:

где единичный вектор нормальный к поверхности , то получим

(1)

Это и есть первое уравнение Максвелла, записанное в дифференциальной форме (индекс у обычно опускается):

или

Второе уравнение Максвелла – это известный закон электромагнитной индукции, или уравнение Максвелла-Фарадея: э.д.с.,наводимая в замкнутом контуре изменяющимся магнитным полем, равна скорости изменения магнитного потока, сцеплённого с контуром:

(2)

Используя также операцию ротора, преобразуем (2) в дифференциальную форму:

где среднее по поверхности S значение нормальной составляющей индукции.

В результате имеем дифференциальную форму записи закона Максвелла в дифференциальной форме:

или

Эти два уравнения дополняются соотношениями:

В практике электромеханики электромагнитное поле чаще всего бывает синусоидальным. Для вектора, величина которого изменяется синусоидально, можно записать:

(3)

Каждая проекция вектора (3) изменяется по синусоидальному закону со своей начальной фазой. Поэтому вектор в пространстве описывает сложную фигуру (эллипсоид). Преобразуем (3) в комплексную форму.

Обозначим , то есть в результате получаем комплексные амплитуды.

Удобнее оперировать не комплексными амплитудами, а комплексными действующими значениями:

Тогда можно записать вектор в комплексной форме:

Уравнения Максвелла в комплексной форме приобретут следующую форму:

Энергия поля и её преобразование

Вектор потока мощности называется вектором Пойнтинга иравен:

Анализ преобразования энергии в электромагнитном поле можно основывать на теореме Умова, соответствующей закону сохранения энергии и представлением о её физической локализации: если внутри некоторого объёма V происходит изменение энергии, то через замкнутую поверхность, охватывающую объём, должен пройти поток энергии равный этому изменению.

Переходя от энергии к мощности, можно теорему формулировать так: скорость уменьшения энергии , заключённой в объёме V, равна потоку мощности, который выходит через поверхность, охватывающую этот объём, то есть:

(4)

здесь буквой обозначена объёмная плотность энергии. Применяя к формуле (1) теорему Остроградского-Гаусса, можно записать теорему Умова в дифференциальной форме:

(5)

Эту теорему предложил профессор МГУ Умов Н.А. в своей докторской диссертации (1874) для механики сплошных сред, а через 10 лет аналогичная теорема была доказана в Англии Пойнтингом и Хевисайдом (независимо друг от друга и от работ Умова) для энергии электромагнитного поля.

Запишем систему уравнений Максвелла и умножим первое уравнение на , а второе на :

Вычтем из первого второе уравнение:

Интегрируя по объёму V, получаем:

или

Формулировка теоремы Пойнтинга следующая: сумма скорости, с которой возрастает энергия электромагнитного поля внутри некоторого объёма, и скорости, с которой часть энергии электромагнитного поля внутри объёма в неэлектромагнитные виды энергии, равна потоку мощности электромагнитного поля, входящего через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объём.

Скорость возрастания энергии поля равен: