План лекции. 1. Что такое законы в дифференциальной форме, чем эта форма отличается от интегральной?

5 6 7 8 9 10 11

Лекция №8

Контрольные вопросы

1. Что такое законы в дифференциальной форме, чем эта форма отличается от интегральной?

2. Запишите формулы для законов Ома и Джоуля - Ленца в дифференциальной и интегральной формах.

3. В каком порядке рассчитывается сопротивление утечки и проводимость заземления?

4. Опишите метод моделирования потенциальных полей на электропроводной бумаге. На чём основан этот метод?

Магнитное поле. Основные величины, характеризующие магнитное поле.

1. Индукция магнитного поля, закон полного тока в интегральной форме.

2. Закон Био-Савара.

3. Напряжённость и намагниченность магнитного поля.

4. Потенциальное (квазистатическое) магнитное поле.

Краткое содержание лекции

Интенсивность магнитного поля определяет векторная величина которая называется индукцией. То есть индукция является мерой магнитного поля.

Если в некотором пространстве с током выделить объём dV, в котором плотность тока и этот объём находится в магнитном поле с индукцией , то на него будет действовать сила, величина которой равна:

Если взять в проводнике с током I выделить малый отрезок , то в магнитном поле с индукцией на него будет действовать сила равная

Магнитная индукция, обусловленная элементом тока, выражается формулой:

(1)

или для элемента проводника с током:

(2)

Принцип суперпозиции применим к магнитному полю, поэтому при заданном распределении вектора плотности тока в конечном объёме, индукция определяется формулой:

, Тл

(3)

или для проводника с током длиной

, Тл

(4)

Иногда удобно говорить о поверхностном токе, вектор плотности которого определяется так: пусть в тонком примыкающем к поверхности слое толщиной b распределён ток, имеющий плотность (вектор параллелен поверхности ). Если произведение остаётся конечным при , то говорят о векторе поверхностного тока .

Магнитное поле, обусловленное поверхностным током:

(5)

Везде в (3), (4), (5) векторы проводятся в точку наблюдения из точек расположения элементов с током.

Формулы (3), (4) и (5) называются законом Био-Савара.

Для магнитного поля существует фундаментальный закон полного тока, который записывается так:

(6)

Интеграл по замкнутому контуру вектора индукции равен току, который охватывает этот контур. Если контур охватывает несколько проводников с током, то (6) запишется так:

где w – количество витков с током.

Если имеется контур с током I и площадкой , то он обладает магнитным моментом равным:

Намагниченность - магнитная поляризованность вещества, она определяется магнитным моментом единицы объёма

, А/м

(7)

Из самого определения намагниченности следует, что магнитный момент элементарного объёма dV намагниченного тела равен:

Если ферромагнитное тело намагничено, то можно представить, что магнитное поле создаётся поверхностным током , линейная плотность которого :

Тогда на основе закона полного тока можно записать для контура :

или

Откуда следует, что:

(8)

Вектор связан только с током в обмотке I и называется вектором напряжённости магнитного поля, измеряется в А/м.

Преобразуем (8) таким образом:

Обозначим магнитная восприимчивость ферромагнитного вещества.

(9)

где величина – относительная магнитная проницаемость ферромагнитного вещества.

Окончательно получаем:

(10)

Рассмотрим особенности поля вектора .

Возьмем достаточно малую площадку S, которую обтекает ток i (рис. 4). Положение вектора в пространстве определяется единичным вектором, нормальным к поверхности площадки . Тогда вектор называется магнитным моментом. Единица измерения момента А·м².

Рис. 4. Магнитный момент Рис. 5. Магнитный диполь

Ток i, обтекающий площадку S, создает такое же магнитное поле, как и диполь магнитных зарядов (рис. 5).

Магнитный потенциал, создаваемый в точке Q, будет равным:

При условии, что , можно записать:

Напряженность магнитного поля диполя определяется так:

Запишем проекции вектора напряженности поля диполя:

Если некоторый объем разобьем на элементарные области (рис. 6), в каждой из которых будет находиться диполь с моментом m, то в точке Q магнитный потенциал определяется следующим выражением:

(11)

где N – количество элементов в объеме.

Рис. 6. Намагниченность объема

Поскольку намагниченность – это , можно записать:

а при имеем

Определим вектор напряженности магнитного поля в точке Q, создаваемый намагниченным телом V:

Так как приращение функции векторного аргумента равно

то из-за того, что .

Поэтому выражение (13) сводится к следующему:

(13)

Обратите внимание, что от диполей напряженность поля убывает как .

Если задана объемная плотность магнитных зарядов ρ_М, то скалярный магнитный потенциал рассчитывается по формулам:

или, так как ,

Напряженность магнитного поля при этом равна:

(14)

Если в объёме, где нет токов, проводимость магнитное поле можно считать потенциальным (квазистатическим) и для него справедливо:

(15)

то можно ввести скалярный магнитный потенциал Тогда:

Расчёт такого поля можно производить теми же методами, что и расчёт электростатических полей, то есть методом решения уравнений Лапласа, Пуассона:

где ρ_М – объёмная плотность магнитных зарядов.

Граничные условия при этом равны:

При расчёте магнитного поля можно использовать метод зеркальных изображений, независимо от того, является ли поле потенциальным или имеется область с током. При зеркальном изображении ток в проводнике и в зеркальном изображении проводника имеют одинаковое направление (рис. 7).