Математические модели входных воздействий

Частотные характеристики

Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p = σ + j ω. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = j ω, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция:

. (2.8)

Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.

По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полином В (j ω) в развернутом виде,,

представляет собой сумму действительной и мнимой частей:.

Так получается потому, что j = в четной степени будет либо – 1, либо + 1.

Частотный полином D (j ω) в развернутом виде имеет ту же структуру:

D (j ω) = D ₁(ω) + jD ₂(ω),

следовательно, комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:

.

Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:

.

Первое слагаемое обозначим U (ω), второе V (ω). U (ω) называют действительной частотной характеристикой, V (ω) - мнимой частотной характеристикой. В краткой записи

W (j ω) = U (ω) + jV (ω). (2.9)

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация W (j ω)

Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1. Для заданной частоты U (ω) и V (ω) – пара чисел, определяющих положение точки М на плоскости.

,. (2.10)

Все величины – функции частоты ω.

Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде

W (j ω) = U (ω) + jV (ω) = A (cos j(ω) + j sinj(ω)).

А (ω) называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. (ω) называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.

Для практических расчетов широко применяются логарифмические частотные характеристики. Их две: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ).

ЛАЧХ называют графическое представление функции L (ω) = 20 lg A (ω) в зависимости от lg ω. Точнее, не самой функции, а ее асимптотических приближений в виде отрезков прямых. Асимптоты находят для области ω< 1 и для области ω> 1. Прямые строят по точкам пересечения с осями координат и между собой. Для построения графика ЛФЧХ по ординате откладывают фазу, по абсциссе – соответствующий ей lg ω.

В дифференциальном уравнении (2.1) правая часть есть сумма воздействующего на вход системы сигнала x (t) и его производных. В реальных условиях на вход системы воздействуют сигналы произвольного характера. То есть, математически они описываются произвольными зависимостями входной величины от времени.

Однако, в теоретических исследованиях принимают, что воздействия оказываются в виде единичного скачка, единичного импульса, гармонического колебания, сигнала постоянной скорости. Эти воздействия называют типовыми.

Рис. 2.3. График ступенчатой функции

Ступенчатая функция (единичный скачок).В момент t = 0 воздействиемгновенно достигает величины x = 1, далее со временем не меняется. График показан на рис. 2.3. Единичную ступенчатую функцию записывают символом 1(t). Значения:

t < 0 1(t) = 0, t = 0 1(t) = 1, t > 0 1(t) = 1.

Если воздействие ступенчатое, но отличается от единичного в А раз, его обозначают А (1). А (1) = А 1(t).

Импульсная функция (единичный импульс). Это такой импульс величина которого равна бесконечности, длительность - нулю, а площадь – единице. В математике известен как дельта функция. Обозначается. Значения:

t < 0 δ(t) = 0,

t = 0 δ(t) = ∞,

t > 0 δ(t) = 0.

Единичный импульс есть производная от единичной ступенчатой функции:

Импульсную функцию можно трактовать как предел прямоугольного импульса, у которого высота стремится к ∞, а время его действия – к нулю.

Гармоническая функция. Это функция, изменяющаяся по закону синуса или косинуса.

Записывается либо как либо как.

Величина воздействия колеблется между значениями A и - A.

Линейная функция.

Воздействие возрастает пропорционально времени.

Квадратичная функция..

Воздействие возрастает пропорционально квадрату времени.