Типовые звенья. С момента воздействия x(t) на вход системы, управляемая величина y(t) начинает изменяться

Переходная функция

С момента воздействия x (t) на вход системы, управляемая величина y (t) начинает изменяться. Процесс, происходящий в это время, называют переходным. Аналитическая зависимость y (t), описывающая переходной процесс, называется переходной функцией. Будет система управляться лучше или хуже – зависит от переходной функции.

Переходной процесс обуславливается внутренними свойствами системы и видом воздействия. Чтобы иметь возможность сравнивать переходные процессы разных систем, принято оказывать воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обозначают h (t).

Первую производную от переходной функции называют весовой функцией и обозначают w (t).

Переходные функции подразделяются на три вида в зависимости от того, как ведет себя производная.

1. Монотонные. Первая производная не меняет знак: dh / dt либо > 0, либо < 0. Пример на рис. 2.4.

2. Колебательные. dh / dt регулярноменяет плюс на минус и наоборот. Пример на рис. 2.5.

3. Апериодические. dh / dt меняет знак один раз. Пример на рис. 2.6.

Рис. 2.4. Монотонно меняющиеся Рис. 2.5. Затухающие колебания Рис. 2.6. Апериодические кривые кривые

Все функции могут быть получены как решение одного дифференциального уравнения при разном значении его коэффициентов или, что все равно, при разном значении коэффициентов характеристического уравнения. Решение характеристического уравнения общего вида (2.7) дает n корней (комплексных, действительных, мнимых). Действительные корни, p = ± σ, обеспечивают неограниченный рост или уменьшение до нуля соответствующих экспонент. Комплексные корни, p = ± σ± j ω, обеспечивают возрастающие или затухающие колебания. Экспоненты с чисто мнимыми корнями, p = ± j ω, обеспечивают гармонические колебания (колебания с постоянной амплитудой). В зависимости от коэффициентов, количество тех или иных видов корней будет меняться, что и обеспечивает тот или иной вид кривых переходного процесса.

В некоторых системах автоматического управления важную роль играют импульсные переходные функции. Их получают, подавая на вход системы единичный импульс. Импульсная переходная функция отличается от «ступенчатой», поскольку как было сказано выше, импульсная функция есть производная от ступенчатой:

Системы автоматического регулирования удобно представлять в виде соединения элементов, каждый из которых описывается алгебраическим или дифференциальным уравнением не выше второго порядка. При этом, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать разные по своей физической природе элементы. Иными словами, у них одна математическая модель. Наиболее употребительные математические модели получили название типовых звеньев. Типовые звенья имеют одну входную и одну выходную величину.

Все конструктивное разнообразие САР можно представить небольшим числом типовых звеньев или их комбинаций.

Рассмотрим следующие типовые звенья.

Звенья, описываемые алгебраическими уравнениями: 1) усилительное (пропорциональное), 2) запаздывающее.

Звенья, описываемые дифференциальным уравнением первого порядка: 1) инерционное, 2) интегрирующее, 3) дифференцирующее.

Звено, описываемое дифференциальным уравнением второго порядка. В зависимости от соотношения коэффициентов, оно может быть колебательным или апериодическим.

Характеристики типовых звеньев принято указывать для единичного ступенчатого входного воздействия.

Для полной характеристики типового звена следует указать его дифференциальное уравнение, операторное уравнение, передаточную функцию, комплексную, действительную, мнимую, амплитудную, фазовую, логарифмическую амплитудную, логарифмическую фазовую частотные характеристики и переходную функцию.